勉強したので習作。「巡回ハミング符号を実装してみた」の知識を一部使う（2を法とした算術・シンドロームの概念等）
1. 概念理解
解きたい課題: 長さ7のビット列を転送したいのだが、転送中のノイズによりビット反転する可能性がある。そこで検査用に長さ8 のビット列を付け加え、全体で長さ 15のビット列を送信することにしよう。15 ビット中 2ビットのビット反転があったとしても、それを検知・訂正したい。
トレードオフを知る: 符号語（＝データ用ビット列＋検査用ビット列）の長さを固定した場合、検査用ビット列の長さを長くすれば より多くの誤り訂正ができるが、その一方 データビット列の長さが短くなるので転送効率が悪くなる。このように、誤り訂正と転送効率のトレードオフがある。
カスタマイズ性: BCH 符号はこのトレードオフに対して、柔軟なカスタマイズを提供。今回は検査用に長さ 8のビット列を採用し、2つの誤り訂正を実現する。検査用のビット列の長さを増減させ、誤り訂正機能の強弱を変えた符号も実装できる。
イメージ図:
送信したいビット列: 1101000
検査ビット列の付与: 110100010000001
-----送信--------------
ノイズによるビット反転: 110101010001001 (下から4, 10番目が反転)
-----受信--------------
検査: (誤りあり, 場所: 4, 10)
訂正後のビット列 110100010000001
検査ビットの剥離 1101000
2. 事前準備
生成多項式: $x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + 1$ のベクトル表現を二進数として整数変換した 465 を使って、2を法とする算術を定義する:
// 生成多項式のベクトル表現を二進数として整数変換した値をgとして各種演算を定義
function mod2 (g) {
const plus = (...args) => args.reduce((a, x) => a ^ x, 0);
function remG (x) { // 入力: A(α)の整数表現, 出力: R(α)の整数表現 (R(x)は A(x)を生成多項式で割った余り)
let result = x;
while (true) {
const shift = Math.clz32(g) - Math.clz32(result);
if (shift < 0) break;
result ^= g << shift;
}
return result;
}
function mul2 (x, y) {
let result = 0;
for (let pos = 0; pos < 15; pos++) {
if (y & (1 << pos)) {
result = plus(result, remG(x << (pos % 15)));
}
}
return result;
}
return {
remG,
plus,
mul: (...args) => args.reduce((a, x) => mul2(a, x), 1)
};
}
const { remG, plus, mul } = mod2(465);
3. エンコード
巡回ハミング符号と全く同様。
検査ビット列の求め方：入力多項式に $x^8$ をかけたものを生成多項式で割った余り（に対応する整数）が検査ビットになる。よって、以下のようにエンコード関数が実装できる:
function encode (num) {
const shifted = num << 8;
return shifted + remG(shifted);
}
// 具体例
[0b101, 0b001, 0b10010].forEach(n => console.log(encode(n).toString(2).padStart(15, '0')));
/*
000010100110111
000000111010001
001001001001001
*/
4. デコード
大まかな流れは、「シンドローム計算」をしてから「誤り位置の計算」。誤り位置がわかれば復号は容易。
シンドローム計算: 4つのシンドローム値がある（数学的には 0,2番目から 1,3番目が導けるので実質的には2つ）。それぞれの値は、受信ビット列の多項式にα or α^2, α^3, α^4 を代入した数値であるので以下のように実装可能
// 拡大元α の α^n の値. α^15 = 1
const powAlpha = n => remG(1 << (n % 15));
// シンドローム計算: シンドロームは4つ。受信多項式にα,α^2, α^3, α^4を代入した値
function syndromeOf (num) {
let syns = [0, 0, 0, 0];
for (let pos = 0; pos < 15; pos++) {
if (num & (1 << pos)) {
syns = syns.map((s, i) => s ^ powAlpha((i + 1) * pos) );
}
}
return syns;
}
誤り位置計算: 誤りがない場合には、4つのシンドローム値は全て0 になる。誤りが一つの場合には（巡回ハミング符号と同様）0番目のシンドローム値が、α^i (ただし i = 0..15) のどれかに一致し、その i こそが誤り位置になる。以下誤りが二つの場合について記述。
誤り多項式を $\sigma(x) = (x+\alpha^i)(x+\alpha^j)$ と定義しよう(i, j は誤り箇所）。すると $S_1\sigma(x) = S_1x^2 + S_1^2x + S_1^3 + S_3$ が容易に導ける（$S_1$は0番目のシンドローム値、$S_3$は2番目のシンドローム値）。この多項式に、$x = \alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, ...\alpha^{14}$ を代入していくと、値が0になるのが二つだけ見つかるので、それが誤り位置だと気づく。コードに落とす:
function decode (num) {
const syn = syndromeOf(num);
// no error
if (syn.every(x => x === 0)) {
return num >> 8;
}
// one error
const aPowArr = range(15).map(powAlpha);
const oneError = aPowArr.findIndex(x => x === syn[0]);
if (oneError !== -1) {
const corrected = num ^ (1 << oneError);
return corrected >> 8;
}
// two error
const [S, , T] = syn;
const sigma = x => plus(mul(S, x, x), mul(S, S, x), mul(S, S, S), T);
const locations = aPowArr.map((x, i) => sigma(x) === 0 ? i : null).filter(x => x !== null);
// console.log(locations);
if (locations.length !== 2) {
throw Error(`decode error: ${locations}`);
}
const corrected = locations.reduce((a, loc) => a ^ (1 << loc), num);
return corrected >> 8;
}
5. 動作確認・テスト
入力は 7ビットなので、エンコーダは128種類の符号語を生成する。このそれぞれの符号語に対して、エラーなし(1パターン）、1ビット誤り（15パターン）、2ビット誤り（105パターン）が想定される。そのためテストするケースは、 128*(1+15+105) = 15488通りある。それぞれについて、符号化・復号が可能であることを確認する。また、符号語長は 15bit なので32768通りの符号語があることになる。引き算をして 17280通りの無意味な符号語をデコーダに渡して変なことが起きないこと（例外がスローされる）も確かめよう:
// 動作確認
// エンコードされる符号語. 全128種
const WORDS = range(1 << 7).map(x => [x, encode(x)]);
// 転送によって 1ビットの誤りを含む符号語. 全128*15種
const EWORDS = WORDS.reduce((a, w) => a.concat(range(15).map(loc => [w[0], w[1] ^ (1 << loc)])), [])
// 転送によって 1ビットの誤りを含む符号語. 全128*105種
const E2WORDS = WORDS.reduce((acc, word) => {
let result = [];
range(15).forEach(loc1 => {
range(15).forEach(loc2 => {
if (loc1 >= loc2) return;
result.push([word[0], word[1] ^ (1 << loc1) ^ (1 << loc2)]);
});
});
return acc.concat(result);
}, []);
const ALLWORDS = [...WORDS, ...EWORDS, ...E2WORDS];
console.log(ALLWORDS.every(([orig, word]) => orig === decode(word))); // -> true
const INVALIDWORDS = range(1 << 15).filter(x => !ALLWORDS.map(x => x[1]).includes(x));
console.log(1 << 15, ALLWORDS.length, INVALIDWORDS.length) // -> 32768 15488 17280
let [cnt1, cnt2] = [0, 0];
INVALIDWORDS.forEach(w => {
try {
const x = decode(w);
cnt1 += 1;
} catch (e) {
cnt2 += 1;
}
});
console.log(cnt1, cnt2); // -> 0 17280
6. 遊んでみた
6-1. 巡回符号であることの確認
巡回符号であることを確認してみよう。入力は7ビットなので 128種類の符号語にエンコードされるのだが、12 個のグループに分類でき、各グループの中では巡回操作によって重なり合うことがわかる:
const cycle15 = n => ((n << 1) + (1 & (n >> 14))) & ((1 << 15) - 1);
// 巡回操作で入力値と重なる数値の一覧
function groupOf (n) {
const result = new Set();
let val = n;
range(15).forEach(i => {
result.add(val);
val = cycle15(val);
});
return [...result].sort((a, b) => a - b);
};
// 巡回符号であることを確認
const words = range(1 << 7).map(x => encode(x));
console.log(words.every(word => {
const group = groupOf(word); // 自分を含むグループを一覧化し
return group.every(elem => words.includes(elem)); // それらが実際に符号化されているか
}));
// いくつのグループがあるか -> 12
const names = new Set(words.map(x => groupOf(x)[0])); // ソートしているので先頭を代表とする
console.log(names.size);
names.forEach(n => console.log(n.toString(2).padStart(15, '0')));
/*
000000000000000
000000111010001
000001001110011
000010100110111
000011010010101
000101110111111
000110011111011
000111101011001
001001001001001
001011010101111
011011011011011
111111111111111
*/
コード全体
// utility
const range = end => [...Array(end).keys()];
// 生成多項式のベクトル表現を二進数として整数変換した値をgとして各種演算を定義
function mod2 (g) {
const plus = (...args) => args.reduce((a, x) => a ^ x, 0);
function remG (x) { // 入力: A(α)の整数表現, 出力: R(α)の整数表現 (R(x)は A(x)を生成多項式で割った余り)
let result = x;
while (true) {
const shift = Math.clz32(g) - Math.clz32(result);
if (shift < 0) break;
result ^= g << shift;
}
return result;
}
function mul2 (x, y) {
let result = 0;
for (let pos = 0; pos < 15; pos++) {
if (y & (1 << pos)) {
result = plus(result, remG(x << (pos % 15)));
}
}
return result;
}
return {
remG,
plus,
mul: (...args) => args.reduce((a, x) => mul2(a, x), 1)
};
}
const { remG, plus, mul } = mod2(465);
function encode (num) {
const shifted = num << 8;
return shifted + remG(shifted);
}
// 拡大元α の α^n の値. α^15 = 1
const powAlpha = n => remG(1 << (n % 15));
// シンドローム計算: シンドロームは4つ。受信多項式にα,α^2, α^3, α^4を代入した値
function syndromeOf (num) {
let syns = [0, 0, 0, 0];
for (let pos = 0; pos < 15; pos++) {
if (num & (1 << pos)) {
syns = syns.map((s, i) => s ^ powAlpha((i + 1) * pos) );
}
}
return syns;
}
function decode (num) {
const syn = syndromeOf(num);
// no error
if (syn.every(x => x === 0)) {
return num >> 8;
}
// one error
const aPowArr = range(15).map(powAlpha);
const oneError = aPowArr.findIndex(x => x === syn[0]);
if (oneError !== -1) {
const corrected = num ^ (1 << oneError);
return corrected >> 8;
}
// two error
const [S, , T] = syn;
const sigma = x => plus(mul(S, x, x), mul(S, S, x), mul(S, S, S), T);
const locations = aPowArr.map((x, i) => sigma(x) === 0 ? i : null).filter(x => x !== null);
// console.log(locations);
if (locations.length !== 2) {
throw Error(`decode error: ${locations}`);
}
const corrected = locations.reduce((a, loc) => a ^ (1 << loc), num);
return corrected >> 8;
}
// 動作確認
// エンコードされる符号語. 全128種
const WORDS = range(1 << 7).map(x => [x, encode(x)]);
// 転送によって 1ビットの誤りを含む符号語. 全128*15種
const EWORDS = WORDS.reduce((a, w) => a.concat(range(15).map(loc => [w[0], w[1] ^ (1 << loc)])), [])
// 転送によって 1ビットの誤りを含む符号語. 全128*105種
const E2WORDS = WORDS.reduce((acc, word) => {
let result = [];
range(15).forEach(loc1 => {
range(15).forEach(loc2 => {
if (loc1 >= loc2) return;
result.push([word[0], word[1] ^ (1 << loc1) ^ (1 << loc2)]);
});
});
return acc.concat(result);
}, []);
const ALLWORDS = [...WORDS, ...EWORDS, ...E2WORDS];
console.log(ALLWORDS.every(([orig, word]) => orig === decode(word)));
const INVALIDWORDS = range(1 << 15).filter(x => !ALLWORDS.map(x => x[1]).includes(x));
console.log(1 << 15, ALLWORDS.length, INVALIDWORDS.length)
let [cnt1, cnt2] = [0, 0];
INVALIDWORDS.forEach(w => {
try {
const x = decode(w);
cnt1 += 1;
} catch (e) {
cnt2 += 1;
}
});
console.log(cnt1, cnt2);
const cycle15 = n => ((n << 1) + (1 & (n >> 14))) & ((1 << 15) - 1);
// 巡回操作で入力値と重なる数値の一覧
function groupOf (n) {
const result = new Set();
let val = n;
range(15).forEach(i => {
result.add(val);
val = cycle15(val);
});
return [...result].sort((a, b) => a - b);
};
// 巡回符号であることを確認
const words = range(1 << 7).map(x => encode(x));
console.log(words.every(word => {
const group = groupOf(word); // 自分を含むグループを一覧化し
return group.every(elem => words.includes(elem)); // それらが実際に符号化されているか
}));
// いくつのグループがあるか -> 12
const names = new Set(words.map(x => groupOf(x)[0])); // ソートしているので先頭を代表とする
console.log(names.size);
names.forEach(n => console.log(n.toString(2).padStart(15, '0')));
参考
以下を特に参照した