概要

エポスカードをお持ちの人ならご存知だと思うが、エポスカード専用アプリでは１日１回トランプのhigh&lowゲームをして最大3ポイント取得することができる。
その期待値と勝つ確率を計算してこの記事を読むすべての方に約40円の不労所得（？）を得てもらうべくこの記事を書いた。

私は数学が極めて苦手であるので、もしかすると、計算ミスがあり確率が違う可能性があるためミスを発見した場合は優しく指摘してほしい。

ゲームルール

このゲームは、Joker、A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2の14枚のカードがあり、最初に1枚のカードが提示される。
その後、highかlowを選び、2枚目に出たカードがhigh、lowどちらか合っていれば1ポイントもらうことができる。同じカードだった場合はやり直す。
1ゲームごとにやめるか続けるかを選択でき、3回までゲームを続けることができる。
カードの強さは、上に書いた順番通り
Joker > A > K > Q > J > 10 > 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2
である。
とすると、8、9の場合は7枚が当たり、1枚がやり直し、6枚がハズレということになり、8以下が提示された場合はhigh、9以上が提示された場合はlowを選ぶのが最善であることがわかる。
これを式にする。

それぞれのカードの勝つ確率

$$ 9,8で勝つ確率 => \frac{7}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{7}{13} $$
$$ 10,7で勝つ確率 => \frac{8}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{8}{13} $$
$$ J,6で勝つ確率 => \frac{9}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{9}{13} $$
$$ Q,5で勝つ確率 => \frac{10}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{10}{13} $$
$$ K,4で勝つ確率 => \frac{11}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{11}{13} $$
$$ A,3で勝つ確率 => \frac{12}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{12}{13} $$
$$ JOKER,2で勝つ確率 => \frac{13}{14} \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{n=1}^n \left(\frac{1}{14}\right)^{n-1}\right)=\frac{13}{13} $$

１回のゲームで勝つ確率

$$ \frac{1}{7} \times \frac{7}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{8}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{9}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{10}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{11}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{12}{13} + \frac{1}{7} \times \frac{13}{13}=\frac{10}{13} $$

回数別の期待値

$$ 1回勝って終わる場合=>1 \times \frac{10}{13}=\frac{10}{13}\approx0.769... $$
$$ 2回勝って終わる場合=>2 \times (\frac{10}{13})^2=\frac{100}{169}\approx1.183... $$
$$ 3回勝って終わる場合=>3 \times (\frac{10}{13})^3=\frac{1000}{2197}\approx1.365... $$

まとめ

最善の手を打てば3回チャレンジし続けるのが一番期待値が高く、１日の期待値は約1.365円、仮に１ヶ月が３０日だとすると、40.95円得られる計算になることがわかった。

謝辞

協力してくれたぼんずくんありがとう。