はじめに
数列と関数ってよくよく考えてみると似てるなぁ～と思って自分なりに調べてみたので
ログ残し。
ネットを見ていると数学の世界は奥深く、厳密な違いの定義はできないかもしれないが
大雑把な感想として投稿してます。一つの視点として流してくれると嬉しいです。
きっかけとはじまり
AI関連の資格勉強の中での式の取り扱い方から、そういえば関数と数列って似てるよね？と思った。だって関数も数列も入口の数値を入れると、算出されて出口の数値が決まるのだもの。
なんとな～く自分の中では、関数も数列も入口と出口の関係のイメージ。
そんなこんなで調べてみました。
ちなみに数列と関数をwikiで調べてみると
シンプルに説明すると、数列は、”数が列になったもの”。
さらに細かく定義すると...
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, …, n} とするとき、S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列と呼んでいる。
上記の記載から、数列を説明する際に"関数"を用いているのを確認できる。
（そして大学の数学科の解析論の授業でよく使われる杉浦解析本の中では、"数列を自然数から実数への関数"と定義している模様。）
ちなみに、
関数の説明については、
かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであり、その後定義が一般化され、現代では数の集合に値をとる写像の一種であると理解されるものとなった。
と記載されている。
例を示すと....
二つの変数 x と y の場合、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則（x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する）が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。
まとめ
数列も関数の一種なのかなぁ？と思いながら調べてみたら
数列と関数の大きな違いは連続値を出すか、とびとびの値を出すことに違いがあるようだ。
確かに関数は、線でつながった連続値を出し、数列はそれぞれの値がとびとびである値を算出しているのがわかる。
数列のn番目は、小数点を許さない整数（しかも正の整数）でしか許さないことからきていることから。
そして、数列の極限問題は連続性という関数的な特徴に、着目した視点と言えるかもしれない。
他にも、数列の情報を含んだ概念、母関数という数学用語もある。
ちなみに調べてみると、数学界では連続性には、不連続性はあるようだけど非連続性は見当たらないようだ。
そして数学界における"非～"と"不～"の違いは、
非：その性質ではなく別の性質を持つことを強調するのに対し、
不：その性質を否定する表現
（↑非線形代数もこちらに含まれるようだ。）
とのこと。
"非連続"と記載すると、連続ではないけれど別の性質を持ったものとして扱われるのが確認できる。
非連続と記載があった場合は、何か特別な性質を持つかどうか確認したほうがいいみたいだ。
ものすご～く細かいことに感じられる表現かもしれませんが、ひとりごとブログとして投稿してみました。
数列と統計（おまけ）
数列の統計?（和の公式とかから）を取ると面白い性質が見えるかもしれない。
ここからは空想数学。集合論に近いかも。
例えば等差数列の和の公式は、
\sum_{k=1}^n k = \frac {1} {2} n(n+1)
で表記できる。
このとき左辺を全体を表す１とし、視点を変えて考えてみると
1 = \frac {1} {2} n(n+1)
n(n+1) = 2
以上より、
組み合わせとして
n = 1, n+1 = 2 と定義すると
（nは、整数（しかも正の数）であるため）
nで一旦世界が全体を示す１でおわり、また新しい世界全体を表記するため 1（集合）を追加することで n+1の世界が終わっていることが式から確認できる。
（n を数の１つの集まり（集合）と考えてます。そして今回は、n=1と定義されており、追加した"1"と同じ）
これより等差数列の和の公式で、n+1でなぜ"1"（新たな全体を示す）を追加するのが分かった。そしてなぜ２で割るのかも
ちょっと自分的にはおもろい発見でした。