はじめに
統計検定の勉強を独自に勉強して、気になるキーワードを見つけたので
ログに残してみようかなと。個人メモになります。
あくまでも、おおまかな個人独自の視点なので、あしからず。
今回気になったキーワードとしては、「正規分布の線形性」についてになります。
そしてあまりレベルは高くないです。
正規分布について
別名ガウス分布。
正規分布は統計学で幅広く使用される確率分布であり、正規分布にあてはめてデータ全体を見ると、どんな性質があるかどうかの視点を得られる。
離散型確率分布と連続型確率分布
確率分布には、確率変数が離散値（とびとびの値）を示す離散型確率分布や、確率変数が離散値ではない、連続型確率分布が存在する。
このため連続型確率分布の場合、線形性の性質を持つことが確認できる。
連続型確率分布の期待値の式は以下の通り。
\mathbb{E}=\int_{∞}^{-∞}xp(x)dx
ちなみに離散型確率分布の期待値の式は以下の通り。
\mathbb{E}=\sum_{k=1}^{N}x_kp(x_k)
離散型確率分布は、Σで定義され、連続型確率変数は∫で積分できるのが確認できるかと思う。厳密にいうと、Σで定義されているのは離散値のため、積分できないため、Σを使用していると思われる。
また線形性の性質をもつということは、離散値ではなく連続確率密度分布でありなおかつ積分が可能な状態であると思われる。
線形性について
自分の中の整理として、改めて線形性についてまとめてみる。
自分個人の視点になります（誰得？
Wikiには、線形性とは、グラフで表現すると原点を通過する直線や平面となる代数構造と記載あり。
線形については以下の特徴を持っています
加法性
f(x+y)=f(x) + f(y)
まずは加法性について。
一つの結合した関数を加法性の特性を生かし、式より
個々の関数について分割できるのが確認できるかと思う。
正規分布については、個々の独立した関数（正規分布のみ）、複数の独立した正規分布混合ガウスモデル、そしてニューラルネットワークを取り入れたVAE(変分オートエンコーダ）などが存在する。
特にVAEについては複数の確率分布関数を結合した状態、ニューラルネットワークを使ってデータを取り入れ柔軟に形を変えることを可能としている。ここに線形性の加法性を使ってなのかなと考えてみた。どうだろ？
斉次性
f(ax)=af(x)
また、斉次性については確率変数が倍数で表現できる場合、関数全体を倍数で表現できる。
このことは移動の元になっている変数がなんらかの倍数になっていると、全体の移動先も倍数で表現できることが可能になると考えた。また＝で表現されてはいるが、母集団より抽出(or分解)した標本との関係性を表現した式にも感じられる。あくまでも綺麗な理想的なモデル？ような感覚。（少しこれは厳しいか？）うまく応用できたらいいなとおもう。