1q-bit系に作用する任意の演算子について自分用にまとめておきます。
ブロッホ球表示
1キュービット系に作用する任意の演算子 $\hat{A}$ は一般に、
\begin{align*}
\hat{A} &= \gamma\big(\hat{I}+\sum_{i=x,y,z}s_i\hat{\sigma}_i\big) \\
\end{align*}
と書くことができます。 ただし、$\gamma, s_x, s_y, s_z$ は任意の実数であり、 $\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y, \hat{\sigma}_z$ は、パウリ演算子です。ここで、$\hat{A}$を密度演算子$\hat{\rho}$としてみましょう。その時、$Tr[\hat{\rho}]=1$より、
\begin{align*}
Tr[\hat{\rho}]&=\gamma\Big(Tr[\hat{I}]+Tr[\sum_{i=x,y,z}s_i\hat{\sigma}_i]\Big)=\gamma(2+0)=2\gamma=1 \\
\therefore \gamma &= \frac{1}{2}
\end{align*}
$\hat{\rho}=\sum_{i}\lambda_{i}|i><i|$ と対角化できているとすると、
\begin{align*}
Tr[\hat{\rho}^2] &= Tr\Big[\sum_{i,j}\lambda_{i}\lambda_{j}|i><i|j> <j|\Big] \\
&= Tr\Big[\sum_{i,j}\lambda_{i}\lambda_{j}|i><j|\delta_{ij}\Big] \\
&= \sum_{i}\lambda_{i}^{2}\leq\big(\sum_{i}\lambda_{i}\big)^2=1 \\
\therefore Tr[\hat{\rho}^2] &\leq 1
\end{align*}
と導かれます(純粋状態の時のみ等号が成立します)。今の場合に適用すると、
\begin{align*}
Tr[\hat{\rho}^2] &= Tr\Big[\frac{1}{4}\big(\hat{I}+\sum_{i=x,y,z}s_i\hat{\sigma}_i\big)\big(\hat{I}+\sum_{j=x,y,z}s_j\hat{\sigma}_j\big)\Big] \\
&= \frac{1}{4}Tr\Big[\hat{I}+\sum_{j=x,y,z}s_j\hat{\sigma}_j+\sum_{i=x,y,z}s_i\hat{\sigma}_i+\sum_{i,j=x,y,z}s_is_j\hat{\sigma}_i\hat{\sigma}_j\Big] \\
&= \frac{1}{4}\Big(2+0+0+\sum_{i,j=x,y,z}s_is_jTr\big[\hat{\sigma}_i\hat{\sigma}_j\big] \Big)
\end{align*}
となります。第4項目は、
\begin{align*}
Tr\big[\hat{\sigma}_i\hat{\sigma}_j\big]=2δ_{ij}
\end{align*}
より、
\begin{align*}
Tr[\hat{\rho}^2] &= \frac{1}{2}(1+\sum_{i}s_i^2) \leq 1 \\
\therefore \sum_{i}s_i^2 &\leq 1
\end{align*}
以上より、1キュービット系の密度演算子 $\hat{\rho}$ は一般に、
\begin{align*}
\hat{\rho} = \frac{1}{2}\big(&\hat{I}+\sum_{i=x,y,z}s_i\hat{\sigma}_i\big) \\
ただし、 &\sum_{i=x,y,z} s_i^2 \leq 1
\end{align*}
とかけることが分かりました。つまりパウリ演算子の係数である、$s_x,s_y,s_z$ を軸とした単位球面内のベクトルとして密度演算子を記述できるということです。量子状態が純粋状態で与えられる場合は、球面上のベクトルとして密度演算子を記述できますが、この球面はブロッホ球と呼ばれます。
[参考文献]
量子測定と量子制御 [第2版] (沙川貴大・上田正仁 共著)