時間発展演算子について、自分用にまとめておきます。
陽に時間に依存しないハミルトニアン
まず、陽に時間依存しないハミルトニアンによる時間発展を見て行きましょう。
孤立系のハミルトニアンを $\hat{H}$ と書いて、ある時間 $t$ での量子系の状態を $|\psi(t)>$ とすると、シュレーディンガー方程式は、
\begin{align*}
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)>=\hat{H}|\psi(t)>
\end{align*}
となります。 $\hat{H}$ は時間に依存しないので、 形式的に $\hat{H}$ は定数のように扱うことができます。この方程式の一般解は、
\begin{align*}
|\psi(t)>=e^{-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)\hat{H}}|\psi(t_0)>
\end{align*}
となります。 指数部分を時間発展演算子という意味で $\hat{U}(t)$ と書くことにすると、
\begin{align*}
|\psi(t)> &= \hat{U}(t)|\psi(t_0)> \\
\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger}(t) &= \hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t) = \hat{I}
\end{align*}
つまり孤立系のシュレーディンガー方程式の時間発展は、何かしらのユニタリー演算子によって行うことができるということです。
ではハミルトニアンが時間依存してしまう時、状態の時間発展をどのように記述できるでしょうか？
陽に時間依存するハミルトニアン
ではハミルトニアンが $\hat{H}(t)$ のように時間依存する場合を考えましょう。この時もシュレーディンガー方程式は同じ形なので、
\begin{align*}
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)>=\hat{H}(t)|\psi(t)>
\end{align*}
とかけます。しかし前回のように、 $\hat{H}(t)$ を定数として形式的な解を書くことはできません。一番最初の手段として、この時もあるユニタリー演算子によって時間発展を記述できるとすると、$|\psi(t)>=\hat{U}(t)|\psi(0)>$ となります。これをシュレーディンガー方程式に代入しましょう。すると、
\begin{align*}
i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}(t)|\psi(0)>=\hat{H}(t)\hat{U}(t)|\psi(0)>
\end{align*}
両辺の演算子が等しいので、
\begin{align*}
i\hbar\frac{d}{dt_s}\hat{U}(t_s)=\hat{H}(t_s)\hat{U}(t_s)
\end{align*}
となります(時間の記号は後のために添字のsを付けました)。両辺、$t_0$ から $t$ まで積分すると、
\begin{align*}
i\hbar\int_{t_0}^{t} \frac{d}{dt_s}\hat{U}(t_s) dt_s
=\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)\hat{U}(t_s)dt_s \\
\therefore \hat{U}(t)-\hat{U}(t_0)=\frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)\hat{U}(t_s)dt_s
\end{align*}
という式が導かれます。初期時刻では$U(t_0)=\hat{I}$とすると、
\begin{align*}
\hat{U}(t)=\hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)\hat{U}(t_s)dt_s
\end{align*}
さて、これで $\hat{U}$ の具体的な形がもとまりましたね！と言いたいのですが、左辺と右辺に $\hat{U}$ が含まれていて、これでは解けたことになりません。右辺の $\hat{U}(t_s)$ を書き換えられないでしょうか？ これは、
\begin{align*}
\hat{U}(t_s)=\hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s')\hat{U}(t_s')dt_s'
\end{align*}
とかけます。これを元の式に代入すると、
\begin{align*}
\hat{U}(t) &= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)\Big(\hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s')\hat{U}(t_s')dt_s'\Big)dt_s \\
&= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)dt_s+(\frac{1}{i\hbar})^2\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')\hat{U}(t_s')dt_s'dt_s
\end{align*}
と変形できます。ここで $[\hat{H}(t_s),\hat{H}(t_s')]\ne0$ であることに注意してください。また、積分変数の範囲はそれぞれ、
\begin{align*}
t_s:t_0→t \\
t_s':t_0→t_s \\
\therefore t_0<t_s'<t_s<t
\end{align*}
であることが分かります。なので、積分順序は内側のものから順に行わなければいけません。第二項に出てきた $\hat{U}(t_s')$ も同じように書き換えましょう。
\begin{align*}
\hat{U}(t) &= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)\Big(\hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s')\hat{U}(t_s')dt_s'\Big)dt_s \\
&= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)dt_s+(\frac{1}{i\hbar})^2\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')dt_s'dt_s+ \\
&(\frac{1}{i\hbar})^3\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\int_{t_0}^{t_s'}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')\hat{H}(t_s'')\hat{U}(t_s'')dt_s''dt_s'dt_s
\end{align*}
これを無限に繰り返すことで、時間発展演算子を追い出すことができそうです。つまり最終的には、
\begin{align*}
\hat{U}(t) &= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)dt_s+(\frac{1}{i\hbar})^2\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')dt_s'dt_s+ \\
&(\frac{1}{i\hbar})^3\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\int_{t_0}^{t_s'}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')\hat{H}(t_s'')dt_s''dt_s'dt_s + \dots
\end{align*}
積分変数の関係は、
\begin{align*}
t_s:t_0→t \\
t_s':t_0→t_s \\
t_s'':t_0→t_s' \\
\dots \\
\therefore t_0<\dots<&t_s''<t_s'<t_s<t
\end{align*}
となります。実はこの時間発展演算子は、時間順序積Tと呼ばれるものを使うと綺麗にまとめることができて、
\begin{align*}
\hat{U}(t) &= \hat{I} + \frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(t_s)dt_s+(\frac{1}{i\hbar})^2\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')dt_s'dt_s+ \\
&(\frac{1}{i\hbar})^3\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t_s}\int_{t_0}^{t_s'}\hat{H}(t_s)\hat{H}(t_s')\hat{H}(t_s'')dt_s''dt_s'dt_s + \dots \\
&= T\{e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat{H}(u)du}\}
\end{align*}
となります。