量子力学で用いられる相互作用表示についてまとめます。
相互作用表示
今、次のような形でハミルトニアンが与えられているとします。
\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{H}_{int}
$\hat{H}$ は陽に時間依存していないことに注意してください。ここで、相互作用表示における状態と演算子を、シュレーディンガー表示である$|\psi(t)>$、$\hat{A}$ を用いて次のように定義します。
|\psi^{I}(t)>:=e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}|\psi(t)>
\hat{A}^{I}(t):=e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}\hat{A}e^{-\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}
ここで、 $|\psi^{I}(t)>$ の時間発展を計算してみます。
\frac{d}{dt}|\psi^{I}(t)>=\frac{i}{h}\hat{H}_{0}e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}|\psi(t)>+e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}\frac{d}{dt}|\psi(t)>
$|\psi(t)>$ はシュレーディンガー方程式を満たすので、
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)>=\hat{H}|\psi(t)>
より、
\begin{align*}
\frac{d}{dt}|\psi^{I}(t)> &= \frac{i}{h}(\hat{H}_{0}e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}-e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}\hat{H})|\psi(t)> \\
&= \frac{i}{h}e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}(\hat{H_0}-\hat{H})|\psi(t)> \\
&= -\frac{i}{h}e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}\hat{H}_{int}|\psi(t)> \\
\end{align*}
相互作用表示における状態の定義を変形して、
|\psi(t)>=e^{-\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}|\psi^{I}(t)>
なので、これを代入すると、
\begin{align*}
\frac{d}{dt}|\psi^{I}(t)> &= -\frac{i}{h}e^{\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}\hat{H}_{int}e^{-\frac{i}{h}\hat{H}_{0}t}|\psi^{I}(t)> \\
&= -\frac{i}{h}\hat{H}_{int}^{I}(t)|\psi^{I}(t)>
\end{align*}
となります。整理すると、
\begin{align*}
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi^{I}(t)> = \hat{H}_{int}^{I}(t)|\psi^{I}(t)>
\end{align*}
つまり定義した$|\psi^{I}(t)>$ は、 $\hat{H}_{int}^{I}(t)$ のみが関与するシュレーディンガー方程式の解であることが分かります。この方程式は、「朝永-シュウィンガー方程式」と呼ばれます。