個人開発アプリでiOS13対応をしたので、やったことや躓いたことをメモしておきます。
小規模アプリなのもあり、対応自体は1時間もかからず終わりました（macOS、Xcodeのアプデ含めても2時間くらい）。
これから対応される方のお役に立てば幸いです。
Anilog - アニメ記録はアニログ

事前準備

Xcodeを最新にしておく（Xcode 11 GM Seed）
macOSを最新にしておく（macOS Catalina 10.15 beta 8）

※2019/09/15時点の最新
※ダウンロードはこちらから：https://developer.apple.com/download/
※後述の通り、最新にしていなかったことが原因でハマったこともあったので、先に最新版を入れておくことをおすすめします。
※ macOSについては、Catalinaのbetaを既に入れている場合のみ。

追記（2019/09/17 08:00）

Xcode 11 GM seed 2が来ましたので、これから対応される方はそちらを利用してください。
Xcode 11 GM seedで、今回バグが発見されたnamed colorsを使っているアプリを提出済みの方については、Xcode 11 GM seed 2でビルドしたものを再提出する必要があるとのこと。

やったこと、躓いたこと

クラッシュ修正

ビルドしようとしたら下記エラーでクラッシュしました。

Terminating app due to uncaught exception 'NSGenericException', reason: 'Access to UISearchBar's _searchField ivar is prohibited. This is an application bug'

下記のようにvalue(forKey:)を使っている箇所があったのですが、このアクセス方法が禁止になったようです。

let textField = searchBar.value(forKey: "_searchField") as! UITextField
textField.backgroundColor = .gray

下記記事を参考にsearchTextFieldプロパティを使うように変更したところ、ビルドが通るようになりました。
UISearchBarのプライベートなプロパティにアクセスするコードがiOS 13では禁止になったようです - Qiita

ダークモード対応

iOS13の目玉の一つでもあるダークモードですが、今すぐに対応するのは正直厳しいので、一旦ライトモード固定で逃げることにしました。
info.plistでUser Interface StyleキーにLightを設定すれば完了。

ダークモード設定中でも本当にライトモードになっているのか、念のためシミュレーターで確認したい場合は、下記記事を参考に「設定アプリ」からDark AppearanceをONにしてください。
XCode11のシミュレーターでiOS13のダークモードを設定する方法 - Qiita

ちなみに、info.plistで誤ってlight（正しくはLight）を設定したままストアにアップロードしようとしてしまったのですが、下記エラーが出てできませんでした。皆さんはお間違いなく！

モーダル表示の変更

UIViewControllerのmodalPresentationStyleのデフォルト値がFullScreenからAutomaticに変更されたことで、アプリ内のモーダル表示のスタイルが一部変わってしまっていました。

iOS12まで	iOS13

今回はiOS12までのスタイルに戻す形で修正をしたかったため、
Storyboardから該当のSegueを選択し、AttributesInspectorでPresentationをFull Screenに変更しました。

参考：iOS 13時代のModal表示仕様と対応 - Qiita