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フライ曲線が半安定である説明（半安定な楕円曲線の定義）

Last updated at 2015-09-08Posted at 2015-08-27

#はじめに
フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すれば，フライ曲線

y^2=x(x-a^n)(x+b^n)

が得られる(詳しい話はこちら)。この記事では，フライ曲線が半安定な楕円曲線であることを説明する。

このページは動画でも解説をしています。
フライ曲線は半安定

（9/8 楕円曲線の定義を変更した）
#半安定な楕円曲線の定義
※ここでの定数$a,b$はフライ曲線とは関係ない
##安定

楕円曲線 $y^2=x^3+ax^2+bx+c$が安定であるとは，(右辺)=0としてできる3次方程式が，全ての素数$p$を法として重根を持たないときである。

##半安定

楕円曲線 $y^2=x^3+ax^2+bx+c$が半安定であるとは，(右辺)=0としてできる3次方程式が，ある素数 $p$ で2重根を持ち，それ以外の素数で3重根を持たないことである。

##不安定(呼び方は違うかも)

楕円曲線 $y^2=x^3+ax^2+bx+c$が不安定であるとは，(右辺)=0としてできる３次方程式が，ある素数 $p$ を法として3重根を持つときである。

楕円曲線自身は（右辺）=0としても重根を持たないですが，素数 $p$ を法とすると持つ場合があるんですね。

#フライ曲線は半安定な楕円曲線
フライ曲線

y^2=x(x-a^n)(x+b^n)

に注目すると，解は $x=0,a^n,b^n$ なので $a$ と $b$ が互いに素であれば，どのような素数 $p$ を法としても，2重根までですね。そして，フェルマーの最終定理の $a,b,c$ はそれぞれ互いに素らしいので，フライ曲線は半安定になりますね。

#課題
フェルマーの最終定理の $a,b,c$ がそれぞれ互いに素であることの説明。