数学の勉強を兼ねて、数式を計算するプログラムを作っています。Qiita などに貼ることを前提に TeX のコードを出力します。
※ プログラミングを数学の勉強に応用する例としての紹介です。この方法で勉強するなら各自で似たようなコードを書くことになります。この記事で紹介するのは、どちらかというと捨てスクリプトの類です。
簡単な計算しかできませんが、計算過程をコードで記述することで好きなように変形するのが狙いです。例を示します。
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
シリーズの記事です。この記事で作ったプログラムを拡張して計算します。
- 多項式の積を計算 ← この記事
- 外積と愉快な仲間たち
- ユークリッド空間のホッジ双対とバブルソート
- 四元数を作ろう
- 四元数と行列で見る内積と外積の「内」と「外」
- 八元数を作ろう
- 八元数の積をプログラムで確認
- 外積の成分をプログラムで確認
- 多元数の積の構成
- 十六元数を作ろう
関連するコードをまとめたリポジトリです。
この記事には関連記事があります。
- 2014.09.19 Haskellによる代数計算入門
- 2017.11.29 ディラック作用素の代数計算
実装
実装には F# を使用します。
以下の記事で紹介した手法で開発しました。
- 2016.12.30 F#開発環境の紹介
F#の入門記事を書いています。
- 2017.01.04 C#/JavaScriptで学ぶF#入門
- 2017.01.11 Haskellで学ぶF#入門
項
まず項の表現方法を決めます。係数と文字をタプルにして組み合わせます。定数項は文字を空にします。
(2,"x") // 2x
(3,"") // 3
これを文字列に変換する関数 str を実装します。
let str = function
| a, "" -> sprintf "%d" a
| 1, x -> x
| -1, x -> "-" + x
| a, x -> sprintf "%d%s" a x
printfn "%s" (str ( 3,"" ))
printfn "%s" (str ( 1,"x"))
printfn "%s" (str ( 2,"y"))
printfn "%s" (str (-1,"y"))
printfn "%s" (str (-2,"z"))
3
x
2y
-y
-2z
多項式
多項式はリストで表現します。
[2,"x"; 3,"y"] // 2x+3y
これを文字列に変換する関数 strs を実装します。順番 i を見て + を挿入します。
let strs ts =
ts
|> List.mapi (fun i (a, _ as t) ->
if i > 0 && a >= 0 then "+" + str t else str t)
|> String.concat ""
printfn "%s" (strs [2,"x"; 3,"y"])
2x
べき乗
べき乗は同じ文字の繰り返しで表現します。str を対応させます。Seq.groupBy がポイントです。
let str (a, x) =
if x = "" then a.ToString() else
let sa = match a with 1 -> "" | -1 -> "-" | _ -> a.ToString()
x.ToCharArray()
|> Seq.groupBy id
|> Seq.map (fun (e, xs) ->
match Seq.length xs with
| 1 -> e.ToString()
| n -> sprintf "%c^%d" e n)
|> String.concat ""
|> (+) sa
printfn "%s" (str (1,"xx"))
x^2
項の積
項の積を計算する関数 prod を実装します。係数を掛けて、文字は連結します。
let prod (ts:(int * string) list) =
ts |> Seq.reduce (fun (a, x) (b, y) -> a * b, x + y)
printfn "%s" (prod [2,"x"; 3,"y"] |> str)
6xy
多項式の積
多項式の積を計算する関数 prods を実装します。
let prods ts =
ts
|> Seq.reduce (fun al bl ->
[for a in al do for b in bl -> prod [a; b]])
let a, b = [1,"x"; 2,"" ], [1,"x"; 3,"" ]
let c, d = [1,"x"; 2,"y"], [1,"x"; 3,"y"]
printfn "(%s)(%s)=%s" (strs a) (strs b) (prods [a; b] |> strs)
printfn "(%s)(%s)=%s" (strs c) (strs d) (prods [c; d] |> strs)
(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6
(x+2y)(x+3y)=x^2+3xy+2yx+6y^2
同類項の整理
同類項を整理する関数 simplify を実装します。ここでも Seq.groupBy を使います。xy と yx を同一視するためソートします。
let simplify (ts:(int * string) list) =
ts
|> Seq.groupBy (fun (a, x) -> System.String(x.ToCharArray() |> Array.sort))
|> Seq.map (fun (a, xl) -> xl |> Seq.map fst |> Seq.sum, a)
|> Seq.toList
printfn "(%s)(%s)=%s" (strs a) (strs b) (prods [a; b] |> simplify |> strs)
printfn "(%s)(%s)=%s" (strs c) (strs d) (prods [c; d] |> simplify |> strs)
(x+2)(x+3)=x^2+5x+6
(x+2y)(x+3y)=x^2+5xy+6y^2
使用例
$(x+y)$ のべき乗を計算してみます。
printfn @"\begin{align}"
let f = [1,"x"; 1,"y"]
for n = 2 to 8 do
let ff = List.replicate n f |> prods |> simplify
printfn @"(%s)^%d&=%s \\" (strs f) n (strs ff)
printfn @"\end{align}"
\begin{align}
(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2 \\
(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \\
(x+y)^4&=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \\
(x+y)^5&=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5 \\
(x+y)^6&=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6 \\
(x+y)^7&=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7 \\
(x+y)^8&=x^8+8x^7y+28x^6y^2+56x^5y^3+70x^4y^4+56x^3y^5+28x^2y^6+8xy^7+y^8 \\
\end{align}
\begin{align}
(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2 \\
(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \\
(x+y)^4&=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \\
(x+y)^5&=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5 \\
(x+y)^6&=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6 \\
(x+y)^7&=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7 \\
(x+y)^8&=x^8+8x^7y+28x^6y^2+56x^5y^3+70x^4y^4+56x^3y^5+28x^2y^6+8xy^7+y^8 \\
\end{align}
プログラム全体: Term.fsx
Math7
この記事で作ったプログラムをベースに機能拡張しながら続編の記事を書いています。
Math7 という名前は適当で、7は七誌の七です。