Quantum Chemistry - Classical Wave Equation ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

u(x, t) : 波の変位
ピンクの図
- 位置=0と位置=lを固定した、1次元の振動するstringを考える
classical wave equation: 2階の偏微分方程式 (以下、式1とする)
- 2階: 一番多い微分の回数が2
- xによる微分、tによる微分
- v(ブイ): 速度
- u(x,t) = X(x)T(t) (以下、式2とする)
- 変数分離法
- u(x,t)をxだけの関数とtだけの関数に分離できる、と仮定する
緑の式
- 式1に式2を代入する
- X(x)T(t)のxによる微分ではT(t)は定数となり
- X(x)T(t)のtによる微分ではX(x)は定数となり
- 紫の式が得られる
ピンクの式
- 紫の式を変形して左側にxだけの式、次にtだけの式に整理した
- この式が「どのようなx, どのようなtに対しても成り立つ」には式の値は定数(=k)となる
- 定数はkともおけるが、-beta^2と置く(以下の式変形のため)
黄色の式
- 左側: ピンクの式の1つ目と-beta^2から整理
- 右側: ピンクの式の2つ目と-beta^2から整理
- これらの式から水色の式が得られる (後述)

黄色の式から水色の式への変換がぱっとでてこなかったので、本に登場していただく。
微分積分の本は2冊を選んでおり、その1冊

サイエンス社新版演習微分積分 by 寺田文行さんら
p167 2階線形微分方程式

(補足) 黄色の式は一部間違っており、xの微分の回数は2である。

\frac{d^2 X(x)}{dx^2} = -{\beta}^2 X(x)

2階微分をy'', 1階微分をy', 0階微分をyと置くと、上記の式は以下となる。

y'' = -{\beta}^2 y

式変形して以下となる。

y'' + \beta ^2 y = 0

y'の項はないが明示すると (以下、式3とする)

y'' + 0 y' + \beta ^2 y = 0

この式を解く。p167に記載の「特性方程式」を使う。

y'' + ay' + by = 0

という微分方程式がある時、微分2階をlambda^2, 微分1階をlambda...などして以下の特性方程式を得る。

\lambda ^2 + a \lambda + b = 0

式3に対する特性方程式は

\lambda ^2 + 0 \lambda + {\beta}^2 = 0

式整理して

\lambda ^2 = -{\beta}^2

2乗を解消すると、-1は虚数単位iの2乗なので

\lambda = \pm i \beta

複素数の実数も明示すると (式4とする)

\lambda = 0 + \pm i\beta

p167によると、特性方程式の階がa+ib, a-ibの虚数解の時、yは以下の形となる。

y = e^{ax}(A cos bx + B sin bx)

式4において、a = 0, b=betaなので

y = e^{0x}(A cos \beta x + B sin \beta x)

y = 1(A cos \beta x + B sin \beta x)

y = A cos \beta x + B sin \beta x

yの表記をもとのX(x)に戻して

X(x) = A cos \beta x + B sin \beta x

として、水色の式の1つ目が得られた。

黄色の式の2つ目は同様に\betaの部分をβv としてくくると

\frac{d^2 T(t)}{dt^2} = -({\beta} v)^2 T(t)

という式なので同じ式変形をしていき、

T(t) = C cos \beta v x + D sin \beta v x