1. togari_takamoto

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    togari_takamoto
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+Quaternionの数学的理解メモ その2
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+
+#回転行列の三次元拡張
+**オイラー角(ロール・ピッチ・ヨー)**
+
+```math
+T_{ 1 }(\theta )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos{ \theta } & sin{ \theta } \\ 0 & -sin{ \theta } & cos{ \theta } \end{pmatrix}
+```
+
+```math
+T_{ 2 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta } & 0 & -sin{ \theta } \\ 0 & 1 & 0 \\ sin{ \theta } & 0 & cos{ \theta } \end{pmatrix}
+```
+
+```math
+T_{ 3 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta } & sin{ \theta } & 0 \\ -sin{ \theta } & cos{ \theta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
+```
+
+二次元の回転行列と同様に、
+
+```math
+T_{ i }(\theta )=exp(J_{ i }\theta )
+```
+
+と書ける。(J:生成子)
+
+```math
+J_{ 1 }=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
+```
+
+```math
+J_{ 2 }=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
+```
+
+```math
+J_{ 3 }=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
+```
+
+#複素行列
+
+```math
+H^{ \dagger }≡複素行列Hを転置+それぞれの複素数を共役複素数化したもの
+```
+
+とする。
+
+##エルミート行列
+
+```math
+H^{ \dagger }=H
+```
+
+のときの複素行列Hをエルミート行列と呼ぶ。
+
+##ユニタリ行列
+
+また実数の行列Mにて、
+
+```math
+M^{ -1 }=M^t
+```
+
+のときのMを直交行列と呼んだが、複素行列では
+
+```math
+\gamma^{ -1 }=\gamma^{ \dagger }
+```
+
+以上が成り立つとき、γをユニタリ行列と呼ぶ。
+2x2行列の時は、
+
+```math
+\gamma =\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta ^{ * } & \alpha ^{ * } \end{pmatrix}
+```
+
+上のような形をとる。ただし以下を満たす。
+
+```math
+\left\| \alpha \right\| ^{ 2 }+\left\| \beta \right\| ^{ 2 }=1
+```
+
+##パウリ行列
+
+さて上のユニタリ行列γに対し、
+
+```math
+\alpha =[[u_0,u_3]]\quad \beta =[[u_2,u_1]]\quad u_i∈R
+```
+
+と置くと、
+
+```math
+\begin{matrix} \gamma & = & u_{ 0 }E+iu_{ 3 }\sigma _{ 3 }+iu_{ 2 }\sigma _{ 2 }+iu_{ 1 }\sigma _{ 1 } \\ & = & [[uE,(u_{ 3 }\sigma _{ 3 }\quad u_{ 2 }\sigma _{ 2 }\quad u_{ 1 }\sigma _{ 1 })]] \end{matrix}
+```
+
+```math
+\sigma _{ 1 }≡\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 2 }≡\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 3 }≡\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
+```
+
+と変形できる。この時のσをパウリ行列と呼ぶ。
+
+
+パウリ行列と単位行列は互いに直行しているため、基底に取ることが出来る。
+
+またパウリ行列は複素数の行列表示の時と同じようにオイラーの公式が成立する。
+
+```math
+exp[[0,\quad (\sigma _{ 1 }\theta \quad \sigma _{ 2 }\theta \quad \sigma _{ 3 }\theta )]]=[[cos{ \theta ,\quad (\sigma _{ 1 }sin\theta \quad \sigma _{ 2 }sin\theta \quad \sigma _{ 3 }sin\theta ) }]]
+```
+
+#複素行列からクォータニオンへ
+
+```math
+X=[[0,\quad (\sigma _{ 1 }x_{ 1 }\quad \sigma _{ 2 }x_{ 2 }\quad \sigma _{ 3 }x_{ 3 })]]
+```
+
+```math
+Y=[[0,\quad (\sigma _{ 1 }y_{ 1 }\quad \sigma _{ 2 }y_{ 2 }\quad \sigma _{ 3 }y_{ 3 })]]
+```
+
+とする。(X,Yは逆エルミート行列)
+このときXとYの積を取ると、
+
+```math
+XY=-[[x\cdot y,\quad (\sigma _{ 1 }\left( x\times y \right) _{ 1 }\quad \sigma _{ 2 }\left( x\times y \right) _{ 2 }\quad \sigma _{ 3 }\left( x\times y \right) _{ 3 })]]
+```
+
+となる。このように基底に[[0, σ]]+Eを取ったものクォータニオンと呼ぶ。
+
+#クォータニオンによる回転
+