問題
'16/8/11 現在、SwiftyDropbox 最新版の v3.2.0 では、iOS の日時設定を12時間制にした状態でクラッシュするという問題があります (原因は NSDateFormatter に locale が設定されておらず、地域によって日時の parse が失敗するからです。詳細は Technical Q&A QA1480 - NSDateFormatter and Internet Dates を参照。)
このバグは Issue 47で報告されていますが、現時点ではまだ修正されていません。修正パッチのプルリクエストも送ったのですが、まだ取り込んでもらえていないようです。
対処方法
暫定対処になりますが、私が修正したバージョンをGithub で公開していますので、こちらを使えば問題は発生しなくなります。以下のように Podfile に記述して pod install すれば OK です。
Podfile
#pod 'SwiftyDropbox'
pod 'SwiftyDropbox', :git => 'https://github.com/tmurakam/SwiftyDropbox.git', :branch => 'feature/fix-issue47'
いずれ本家側で修正されると思いますので、その際は記述を戻してください。