数学

常微分方程式 まとめ

マセマで勉強したことを主にまとめる

線形

yやuの従属変数と、その導関数y',y'',...ux,uyyなどが全て一次式である微分方程式を線形という。

従属変数

独立変数の値によって値が変化する変数。y=f(x)でいうyが従属変数で、xが独立変数。

独立変数

従属変数を予測するために使われる変数のこと。説明変数ともいう

非線形

線形でないもの

一般解と特殊解

一階の正規形状微分方程式dy/dx = f(x)の一般解がy=F(x)+Cであるのを見ればわかるように、1階の常微分方程式には一つの任意定数(Cのこと)が存在する。
一般にn階の常微分方程式について、n個の任意定数をもつ解を一般解と呼ぶ。
それに対して、初期条件や、境界条件などの様々な条件をつけて、任意定数をある値に定めて求まる解を特殊解、特解と呼ぶ。
・初期条件はx=x1における、y(x1)=y1などの条件(一点における条件)
・境界条件はx=x1とx2における、y(x1)=y1,y(x2)=y2などの条件(二つの端点における条件)