毎回作るのが嫌なので、クラスを貼っておく。
これをコピペして、nibのボタンのクラスをUIButtonからUIButtonWithCopyMenuに変更すると長押しでCopyメニューが表示されます。

import UIKit

// コピーメニューが表示されるUIButton
class UIButtonWithCopyMenu: UIButton {

    override func awakeFromNib() {
        // 長押し処理を追加
        self.addGestureRecognizer(UILongPressGestureRecognizer(target: self, action: #selector(UIButtonWithCopyMenu.showContextMenu(_:))))
    }

    // コンテンツをコピーできるようにします。
    func showContextMenu(_ sender:AnyObject?) {
        self.becomeFirstResponder()
        let contextMenu = UIMenuController.shared
        if !contextMenu.isMenuVisible {
            contextMenu.setTargetRect(self.bounds, in: self)
            contextMenu.setMenuVisible(true, animated: true)
        }
    }

    // コンテンツをコピーします。
    override func copy(_ sender: Any?) {
        let pasteBoard = UIPasteboard.general
        pasteBoard.string = self.titleLabel?.text
        let contextMenu = UIMenuController.shared
        contextMenu.setMenuVisible(false, animated: true)
    }

    override func canPerformAction(_ action: Selector, withSender sender: Any?) -> Bool {
        if action == #selector(copy(_:)) {
            return true
        }
        return false
    }

    override var canBecomeFirstResponder: Bool {
        get {
            return true
        }
    }
}