簡単にTypeScriptでVuex入門をしたかったのでTodoリストを作ってみました。
（※pageの記載はtsですが、ストアはjsで実装しています）

この記事で伝えること

pages/index.vueでのストアの呼び出し方
JavaScriptとTypeScriptの比較

この記事で伝えないこと

環境構築
TypeScriptでのストアの書き方
Vuexの解説

①ストアを作成（JavaScript）

下記リンクを参考にストアを作っていきます
* Vuex ストア - Nuxt.js

ディレクトリ構成

pages
- index.vue（TypeScriptでのtodoリスト）
- todos.vue（JavaScriptでのtodoリスト）
store（ストアはJS・TS共に共通）
- index.js
- todos.js

store/index.js

export const mutations = {
  add(state, text) {
    state.todos.list.push({
      text: text,
      done: false
    })
  },
  remove(state, { todo }) {
    state.list.splice(state.list.indexOf(todo), 1)
  },
  toggle(state, todo) {
    todo.done = !todo.done
  }
}

store/todos.js

export const state = () => ({
  list: []
})

モジュールモードなので、明示的に new Vuex.Store する必要はありません。

モジュールモード: store ディレクトリ内のすべての *.js ファイルが名前空間付きモジュールに変換されます（index はルートモジュールとして存在します）

②まずはお馴染みのJavaScriptで実装

pages/todos.vue

<template>
  <ul>
    <li v-for="(todo, i) in todos" :key="i">
      <input type="checkbox" :checked="todo.done" @change="toggle(todo)" />
      <span :class="{ done: todo.done }">{{ todo.text }}</span>
    </li>
    <li>
      <input placeholder="What needs to be done?" @keyup.enter="addTodo" />
    </li>
  </ul>
</template>

<script>
import { mapMutations } from 'vuex'

export default {
  computed: {
    todos() {
      return this.$store.state.todos.list
    }
  },
  methods: {
    addTodo(e) {
      this.$store.commit('add', e.target.value)
      e.target.value = ''
    },
    ...mapMutations({
      toggle: 'toggle'
    })
  }
}
</script>

<style>
.done {
  text-decoration: line-through;
}
</style>

このコードでしっかりと動作・エラーが出ないことを確認します。

③TypeScriptで実装

上記のコードをTypeScriptで書くとこのようになります。

pages/index.vue

-- template内は上記コードと同様 --

<script lang="ts">
import { Vue, Component } from 'vue-property-decorator'
import { mapMutations } from 'vuex'

@Component({
  methods: {
    ...mapMutations({ toggle: 'toggle' })
  }
})
export default class extends Vue {
  private get todos(): Object {
    return this.$store.state.todos.list
  }

  addTodo(e): void {
    this.$store.commit('add', e.target.value)
    e.target.value = ''
  }
}
</script>

TypeScriptでの変更点は以下です。

vue-property-decoratorの導入

kaorun343/vue-property-decorator: Vue.js and Property Decorator

methods

メソッドはクラスのメソッドになるため、 methods: {} の記述は不要です。

computed

computedは getter / setter で記述します。

map系ヘルパー（Vuex）

メソッドは上記のようにクラスのメソッドとして記述しますが、
...mapMutations を使う場合、@Component内にそのまま書きます

ちなみに、下記記事によるとmap系ヘルパーを使うと全てanyになってしまうため、TypeScriptで記述する恩恵が少ないみたいです。
→ Vuexによる状態管理を含む最高に快適な Vue.js + TypeScript の開発環境を目指す話 - Qiita

以上で、<script>から<script lang="ts">化ができました！
Vue（Nuxt）でTypeScriptを書く際は、すこしクセがあるのでJSとの違いがわかるVuexのコードを見たくて書きました。
ストアをTS化したらまた書きたいと思います。

参考資料

めちゃくちゃわかりやすいです
上記以外のTypeScriptの書き方が不明な方はこちらを参考に
* TypeScriptでVue.jsを書く – Vue CLIを使った開発のポイントを紹介 | maesblog

ストアをTS化するときに参考にしたいと思ってます
* VuexをTypeScriptで利用するのに悩んだ | cloudpack.media

クラスの書き方がわからないときはこちら
* vuejs/vue-class-component: ES / TypeScript decorator for class-style Vue components.

Vuexのmap系ヘルパーをどう使えば良いか悩みました
こちらを参考に@Component内に記述しました
* How to use ...mapGetters with class components? Typescript errors · Issue #109 · vuejs/vue-class-component

【Nuxt.js】Todoリストで理解するTypeScriptでVuex入門