Flutterでアプリのバージョン情報を取得するには公式のpackage_infoプラグインを使用します。
pubspec.yaml
# dependencies:に追記
package_info: 0.3.2
情報の取得は非同期になります。画面に表示するにはFutureBuilderやStatefullWidgetを使うのがよいでしょう。
versionは1.0.0
のような情報、buildNumberはAndroidでいうVersionCode、iOSでいうCFBundleVersionです。
import 'package:package_info/package_info.dart';
PackageInfo packageInfo = await PackageInfo.fromPlatform();
String appName = packageInfo.appName;
String packageName = packageInfo.packageName;
String version = packageInfo.version;
String buildNumber = packageInfo.buildNumber;