【1】サンプリング定理 / Sampling Theorem
連続信号 x(t) をサンプリング周期 Tₛ で離散化する：
x[n] = x(t) |_{t = nTₛ}
fₛ = 1 / Tₛ
サンプリング条件（ナイキストの定理）：
fₛ ≥ 2 f_max
この条件を満たせば、連続信号は次式で完全再構成可能：
x(t) = Σ_{n=-∞}^{∞} x[n] · sinc((t − nTₛ)/Tₛ)
【2】z⁻¹ の意味 / Meaning of z⁻¹
離散信号系において：
x[n−1] ↔ z⁻¹ X(z)
これは「1サンプルの時間遅延」を意味し、
ディジタル回路では**1サンプル分のメモリ要素（delay element）**に相当する。
【3】微分演算（離散化） / Discrete Differentiation
(1) アナログ領域
y(t) = dx/dt
Y(ω) = jω X(ω)
(2) 前進差分（遅延なし）
y[n] = (x[n+1] − x[n]) / Tₛ
D₊(z) = (z − 1) / (Tₛ z⁰)
非因果（未来参照）型。理論解析では使用されるが実装には不向き。
(3) 後退差分（遅延あり）
y[n] = (x[n] − x[n−1]) / Tₛ
D₋(z) = (1 − z⁻¹) / Tₛ
因果的で安定。実際のディジタル微分回路はこの形式を採用。
(4) 中央差分（対称形）
y[n] = (x[n+1] − x[n−1]) / (2Tₛ)
D_c(z) = (z − z⁻¹) / (2Tₛ)
線形位相を保つ近似。信号処理系でよく使用される。
【4】積分演算（離散化） / Discrete Integration
(1) アナログ領域
y(t) = ∫ x(t) dt
Y(ω) = (1 / jω) X(ω)
(2) 【遅延あり】矩形則（後退積分）
y[n] = y[n−1] + Tₛ x[n]
I_delay(z) = Tₛ z⁻¹ / (1 − z⁻¹)
→ 実装が容易で安定（因果的）。
現実の積分回路・IIRローパスに対応。
(3) 【遅延なし】矩形則（前進積分）
y[n+1] = y[n] + Tₛ x[n]
I_nodelay(z) = Tₛ / (1 − z⁻¹)
→ 理想的（非因果）。解析用。
(4) 【平均型】台形則（Trapezoidal Rule, Tustin法）
I_trap(z) = (Tₛ/2) · (1 + z⁻¹) / (1 − z⁻¹)
→ 双一次変換 s = (2/Tₛ)(1−z⁻¹)/(1+z⁻¹) に基づく。
高精度・安定な近似法。
【5】定積分（Definite Integral）
積分範囲 [0, t]（または [0, nTₛ]）での累積を表す。
(1) アナログ領域：
F(t) = ∫₀^t x(τ) dτ
(2) 離散化（数値定積分）
F[n] = Σ_{k=0}^{n} x[k] Tₛ
Z領域で：
F(z) = Tₛ X(z) / (1 − z⁻¹)
したがって定積分演算子は：
I_definite(z) = Tₛ / (1 − z⁻¹)
これは遅延なし積分 I_nodelay(z) と同一。
「初期値からの累積値」を表すため、
物理的には電荷・エネルギー・距離などの積算量を意味する。
【6】微分・積分・定積分まとめ表
| 種類 | 時間領域式 | Z領域伝達関数 | 遅延 | 因果性 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| 微分（前進） | (x[n+1]−x[n])/Tₛ | (z−1)/(Tₛ) | 無 | 非因果 | 理論解析 |
| 微分（後退） | (x[n]−x[n−1])/Tₛ | (1−z⁻¹)/Tₛ | 有 | 因果 | 実装向き |
| 積分（遅延あり） | y[n]=y[n−1]+Tₛx[n] | Tₛz⁻¹/(1−z⁻¹) | 有 | 因果 | 安定 |
| 積分（遅延なし） | y[n+1]=y[n]+Tₛx[n] | Tₛ/(1−z⁻¹) | 無 | 非因果 | 理論解析 |
| 積分（台形則） | 平均形 | (Tₛ/2)(1+z⁻¹)/(1−z⁻¹) | 対称 | 準因果 | 高精度 |
| 定積分 | Σ_{k=0}^{n} x[k]Tₛ | Tₛ/(1−z⁻¹) | 無 | 累積量 | 累積的和 |
【7】アナログ極限（Tₛ→0）
lim_{Tₛ→0} [(1−z⁻¹)/Tₛ] = d/dt
lim_{Tₛ→0} [Tₛ/(1−z⁻¹)] = ∫ dt
lim_{Tₛ→0} [Σ_{k=0}^{n} x[k]Tₛ] = ∫₀^t x(τ)dτ
すなわち、
ディジタル演算はアナログ演算に極限的に一致する：
s = (1−z⁻¹)/Tₛ
1/s = Tₛ/(1−z⁻¹)
【8】物理的意味 / Physical Interpretation
| 項目 | 物理的対応 |
|---|---|
| z⁻¹ | 過去サンプル保持（メモリ） |
| (1−z⁻¹) | 離散微分（速度・電流） |
| 1/(1−z⁻¹) | 離散積分（位置・電荷） |
| TₛΣx[n] | 定積分（累積エネルギー） |
| Tₛ→0 | 連続時間系への極限 |
【9】統一関係式 / Unified Relation
d/dt ⇔ (1 − z⁻¹)/Tₛ
∫dt ⇔ Tₛ/(1 − z⁻¹)
∫dt(遅延付) ⇔ Tₛ z⁻¹/(1 − z⁻¹)
∫dt(台形近似) ⇔ (Tₛ/2)(1 + z⁻¹)/(1 − z⁻¹)
∫₀^t x(τ)dτ ⇔ Tₛ Σ x[n] = Tₛ/(1 − z⁻¹)
✅ 結論
- サンプリング定理が保証する範囲で、
z⁻¹ を中心とする離散演算はアナログ演算の厳密な写像である。 - 積分演算には「遅延なし」「遅延あり」「定積分」「台形近似」が存在し、
いずれも s ↔ (1−z⁻¹)/Tₛ で接続される。 - 定積分（definite integral）は累積量として、
システムのエネルギー・電荷・距離・位相量を数値的に再現する。
したがって最終的な対応は次式で表される：
アナログ系: s = d/dt, 1/s = ∫dt
ディジタル系: s = (1−z⁻¹)/Tₛ, 1/s = Tₛ/(1−z⁻¹)
これが、
サンプリング定理に基づく連続信号と離散信号の数学的同型写像
であり、
微分・積分・定積分のすべてを一貫して扱う統一基礎式となる。