AIにおける微分と積分

Posted at 2025-10-13

dy/dx = lim_{Δx→0} (y(x+Δx) − y(x)) / Δx

→ 入力がわずかに変化したときの出力の変化率。

ニューラルネットの学習では、誤差関数 E(w) を
パラメータ w に対して微分し、最小化方向を求める。

∂E/∂w = 勾配 (gradient)

これが「AIにおける微分」の中心的役割。
モデルはこれを使って自分自身を**修正（learning）**する。

誤差逆伝播法（Backpropagation）は、チェーンルールによる微分展開：

∂E/∂w = (∂E/∂y) · (∂y/∂x) · (∂x/∂w)

→ ネットワークを構成する全ての演算を**自動微分（automatic differentiation）**で分解。
これがAIの「思考の微分」といえる。

【2】積分の意味（AI視点）

Integration = 累積・学習の蓄積（weight update accumulation）

y(t) = ∫ f(t) dt

→ 微小変化 f(t) を時間に沿って積み重ねた結果。

AIの学習過程では、微分（勾配）を時間軸上で積み重ねる：

w(t+1) = w(t) − η ∂E/∂w

η：学習率（Learning rate）
これは積分形式で表せる：

w(t) = w(0) − ∫ η (∂E/∂w) dt

つまり、AIの学習とは「誤差の勾配を時間積分して重みを更新する」こと。
積分＝経験の蓄積（learning over time）。

リカレントネット（RNN）は、過去の状態を逐次的に加算・保持する：

h_t = f(Wx_t + Uh_{t−1})

これは離散積分方程式に等価：

h(t) = ∫ f(x(τ), h(τ)) dτ 　（連続極限）

→ LSTMの「セル状態 C_t」は実質的に**積分器（integrator）**であり、
情報を“忘れずに蓄積”する構造。

数学的概念	AIでの対応	物理的意味	数式的形態
微分 (d/dx)	勾配計算 (∂E/∂w)	変化・方向性	ΔE/Δw
積分 (∫dx)	学習の累積 (ΣΔw)	経験の蓄積	w(t)=w(0)−∫η∂E/∂w dt
2階微分	曲率 (Hessian)	最適化の安定性	H = ∂²E/∂w²
数値積分	重みの履歴更新	時間発展	w_{t+1}=w_t−η∇E_t
積分方程式	RNN・LSTM状態更新	記憶保持	h_t=f(Wx_t+Uh_{t−1})

深層学習の発展では、「微分方程式としてのネットワーク」も登場する：

dx/dt = f(x, t, θ)

→ これは Neural ODE (Neural Ordinary Differential Equation) モデル。
学習とはこの微分方程式を時間積分して解く過程である。

解の形：

x(t1) = x(t0) + ∫_{t0}^{t1} f(x(t), t, θ) dt

ここでの積分は数値積分（Runge–Kutta法など）として実装される。
AIが「連続的に思考・推論する」モデルといえる。

AIの内部では、
微分＝変化の発見、積分＝変化の累積として動作している：

微分:  ∂E/∂w  → 変化の方向を見つける
積分:  w(t+1) = w(t) − η ∂E/∂w  → 変化を積み重ねる

これを時間連続に書けば：

dw/dt = −η ∂E/∂w      （学習微分方程式）
w(t) = w(0) − ∫ η (∂E/∂w) dt

AIの学習ステップ n は、離散時間系のサンプリング点に等しい：

w[n+1] = w[n] − η ∂E/∂w[n]

Z領域では：

W(z)(1 − z⁻¹) = −η ∂E/∂W(z)

すなわち：

(1 − z⁻¹)/η  ⇔  d/dt（学習微分）
Tₛ/(1 − z⁻¹) ⇔  ∫dt（経験積分）

AIの重み更新はまさに離散時間の微分積分演算そのものである。

✅ 結論

AIにおける「微分」と「積分」は、
単なる数値演算ではなく、
知識の変化と蓄積の動的過程を数学的に表現したもの。

すなわち：

微分 = 知識を更新する感度
積分 = 知識を蓄積する記憶

ニューラルネットの学習とは、
世界の変化を微分で捉え、積分で学ぶシステムそのものである。