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確率母関数、モーメント (積率) 母関数

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確率母関数

非負の離散型確率変数 $X$ に対して、確率母関数は $t^X$ の期待値として定義される。

\begin{align}
G_X(t) &= E[t^X] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} t^x f_X(x)
\end{align}

$G_X(t)$ の $m$ 階微分は、以下のように表される。

\begin{align}
G_X^{(m)}(t) &= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)t^{X-m}\right]
\end{align}

これにより、$X$ のモーメントが求められる。

  • $E[X] = G_X^{'}(1)$
  • $E[X(X-1)] = G_X^{''}(1)$
  • $E[X^2] = E[X(X-1)] + E[X] = G_X^{''}(1) + G_X^{'}(1)$
  • $V[X] = E[X^2] - E[X]^2 = G_X^{''}(1) + G_X^{'}(1) - \left(G_X^{'}(1)\right)^2$

また、以下のように確率 $P(X=x)$ は、$G_X^{(x)}(0)/x!$ で表される。このことから、$G_X(t)$は確率母関数 (probability generating function; 確率生成関数) と呼ばれる。

\begin{align}
G_X^{(m)}(0) &= E\left[X(X-1)\cdots(X-m+1)0^{X-m}\right] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1)\cdots(x-m+1)0^{X-m} f_X(x) \\
&= m(m-1)\cdots 1 f_X(m) \\
&= m!P(X=m)
\end{align}

モーメント (積率) 母関数

一般の確率変数 $X$ に対しては、モーメント母関数は $e^{tX}$ の期待値として定義される。

\begin{align}
M_X(t) &= E[e^{tX}] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} t^x f_X(x)
\end{align}

$M_X(t)$ の $m$ 階微分は、以下のように表される。

\begin{align}
M_X^{(m)}(t) &= E\left[X^me^{tX}\right]
\end{align}

$X$ の (原点まわりの) $m$ 次のモーメントは、$M_X^{(m)}(0)$ で表されることから、$M_X(t)$ はモーメント母関数 (moment generating function; モーメント生成関数) と呼ばれる。

  • $E[X] = M_X^{'}(0)$
  • $E[X^2] = M_X^{''}(0)$
  • $V[X] = E[X^2] - E[X]^2 = M_X^{''}(0) - \left(M_X^{'}(0)\right)^2$

複数の確率変数に対するモーメント母関数

複数の確率変数に対しても、同様に定義される。

\begin{align}
M_{XY}(s, t) &= E\left[e^{sX+tY}\right] \\
M_{XY}^{(m,n)}(0,0) &= E\left[X^mY^n\right]
\end{align}

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