- 統計学の活用：Hill型シグモイド関数 パラメータとグラフの形状の関係を掴む
- 関数の紹介：Hill型シグモイド関数
- GeoGebraでグラフを描画
- パラメータ a の影響
- パラメータ k の影響
- パラメータ n の影響
統計学の活用：Hill型シグモイド関数 パラメータとグラフの形状の関係を掴む
今回はHill型シグモイド関数のパラメータとグラフの形状の変化について考えてみたいと思います。
所要時間は20分ほどとなっています。
それでは、さっそく始めていきましょう！
（今回は範囲について x > 0 でどうなるかを見ていきます。）
関数の紹介：Hill型シグモイド関数
この関数は
「ある閾値を超えると急激に反応する」
現象を表します。
典型的な形状
- 最初は小さい
- 途中で急増
- 最後は飽和
GeoGebraでグラフを描画
パラメータaの影響
aは上限・最終的な高さを意味します。
数学的には x → ∞ で f(x) → a になります。
a を大きくすると
- 全体が上方向へ拡大
- 飽和値増加
実務解釈
商圏分析では
- 最大来店率
- 最大売上
- 最大浸透率
を表せます。
パラメータ k の影響
kは半飽和点です。「どの x で反応が半分になるか」を決めます。
重要な性質
x = K のとき、f(K) = a / 2 になります。
つまり、「50%到達地点」です。
kを大きくすると
- S字全体が右へ移動
- 反応開始が遅れる
kを小さくすると
- 少量で反応
- 左へ移動
実務解釈
小さいK : 少人数でも反応
大きいK : 大量人流が必要
パラメータ n の影響
n はHill係数です。「閾値の鋭さ」を決めます。
nを大きくすると
- 急激立ち上がり
- スイッチ型になる
nを小さくすると
- 緩やか反応
- 徐々に増加
【参考】実際に関数をグラフ化してパラメータを動かして確認してみたい方はGeoGebraを活用すると簡単です！ぜひご活用ください。