問題
$i$ を虚数単位、$\mathrm{e}$ を自然対数の底とします。$\mathrm{e}^{z} = -i$ を満たす複素数 $z$ のうち、虚部が $0$ 以上 $2\pi$ 未満のものを求めなさい。
次の公式を知らないとフリーズする（オイラーの公式, 参考）。 導出には $\mathrm{e}^x, \cos x, \sin x$ のテイラー展開を用いるが、覚え方としては、博士の愛した数式 $\mathrm{e}^{i\pi} = -1$ を覚えていれば、右辺を極形式で表して $$ この両辺を $\frac{\theta}{\pi}$ 倍して公式を復元できる。 $z = a + b i$ とおく。 よって、$\mathrm{e}^a = 1$, $a = 0.$ また、$0 \le b < 2\pi$ なので、 $b = \frac{3\pi}{2}$. $z = \frac{3\pi i}{2}$.
知識
\mathrm{e}^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\mathrm{e}^{i\pi} = -1 = \cos \pi + i \sin \pi
$$
解答
\begin{align}
\mathrm{e}^{z}
&= \mathrm{e}^{a} \mathrm{e}^{bi} \\
&= \mathrm{e}^{a} (\cos b + i \cos b) \\
&= -i \\
&= \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}
\end{align}