問題
正の整数 $n$ に対して
$$a_n = \left\lfloor \frac{2017}{n} \right\rfloor$$
とします。この時、$a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2017}$ の中に異なる整数は何個含まれますか。ただし、$\lfloor x \rfloor$ は、実数 $x$ に対して、$x$ 以下の最大の整数を表します。
定義より、$a_1 = 2017, a_2=1008, a_3=672$ を得る。このように、$n$ が小さい時、$a_n$ の値は厳密に減少していく。 一般に、$a_n = m, n < m$ のとき、$a_{n+1} > m$ が成り立つ。 証明 $(n+1)m > 2017$ を示せば良い。 したがって、$a_n = m, n < m$ となるケースでは、$a_n$ の値はすべて異なる。 $n$ と $m$ の大小関係の切り替わりを見つけるには、$\sqrt{2017}$ 付近を探せば良い。$44 < \sqrt{2017} < 45$ なので、$n=44$ を考えると、$a_{44} = 45$ であることがわかる。つまり、$a_1, \dots, a_{44}$ はすべて異なる。 さらに、$n$ と $m$ を入れ替えたケースを考えると $a_n = m, n < m$ であれば $a_m = n$ となることを示すことができる。 証明 $nm \le 2017 < m(n+1)$ を示せば良い。 したがって、$a_{45} = 44, \dots, a_{1008}=2, a_{2017} = 1$ が成り立ち、右辺は連続する整数であるためすべて異なり、かつこれ以外の値をとるものは存在しない。
解答
$a_n=m$ ならば、$nm \le 2017 < n(m+1)$ が成り立ち、さらに $n<m$ ならば
$2017 < n(m+1) = nm + n < nm+m = m(n+1)$.
$a_n = m$ であるので、$nm \le 2017 < n(m+1)$ である。くわえて、$n < m$ であるので、$n(m+1) = nm+n < nm+m = m(n+1)$.
したがって、異なる値の個数は $44 \times 2 = 88$.
感想