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囚人のジレンマ

ゲーム理論とは

自分の利益を最大にするためにどの選択肢をとるべきかを判断すること

囚人のジレンマとは

ある監獄に2人の囚人がいる。この囚人は共通の事件の容疑者である。
看守はこの2人の囚人それぞれに取引を持ち掛けた。2人の間で取引について相談はできない。取引は以下のような内容である。

取引

  • お前には「自白する」と「黙秘する」の2つの選択肢を与える。
  • もう一人が黙秘しているときお前が自白していれば、お前を即釈放してやろう。その時もう一人の囚人の刑期は大きく伸びる。
  • 2人とも自白してしまった場合は2人とも刑期が少し伸びてしまう。
  • 2人とも黙秘した場合は刑期はそのままだ。

このような状況で、囚人の刑期をR(プレイヤー,行動)と表すとき、2人の囚人の行動と刑期について以下の表のようにあらわすことができる。
WS000000.jpg

いま、2人の現在の刑期が4年であるとき、取引を踏まえて以下のように表すことができる。
WS000001.jpg

このとき、合理的(=常に自分の利益を最大にするために行動すること)な囚人はどのような行動をするべきだろうか。

囚人A

囚人A目線で考えていこう。
単純に刑期が短い(利益が大きい)順に並べると、(Aの行動,Bの行動)で(自白,黙秘)>(黙秘,黙秘)>(自白,自白)>(黙秘,自白)の順に並び、ぱっと見黙秘と自白どちらを選べばよいか分からない。
ここで相手の行動を含めて考えてみる。

まずは相手が「黙秘する」を選んだ場合

WS000002.jpg
囚人Aの利益でみると、(自白,黙秘)の0>(黙秘,黙秘)の-4となるため、
WS000003.jpg
囚人Aは自白した方がよい。

次に相手が「自白する」を選択した場合

WS000004.jpg
囚人Aの利益は(自白,自白)の-7>(黙秘,自白)の-10で、
WS000005.jpg
囚人Aは自白した方がよい。

WS000006.jpg
以上のことから、囚人Aは囚人Bがどちらを選んでも「自白する」を選択することで利益を最大化することができる。

囚人B

こんどは囚人B目線で見ていこう。
今回のゲームは2人のプレイヤーについて対称なため、囚人Aとまったく同じだが、丁寧に同じ手順を踏む。

単純に刑期が短い(利益が大きい)順に並べると、(Aの行動,Bの行動)で(自白,黙秘)>(黙秘,黙秘)>(自白,自白)>(黙秘,自白)の順に並び、ぱっと見黙秘と自白どちらを選べばよいか分からない。
相手の行動を含めて考えてみる。

囚人Aが「黙秘する」を選択した場合

WS000007.jpg
(自白,黙秘)の0>(黙秘,黙秘)の-4
WS000008.jpg
囚人Bは自白した方がよい。

次に相手が「自白する」を選択した場合

WS000009.jpg
囚人Bの利益は(自白,自白)の-7>(黙秘,自白)の-10で、
WS000010.jpg
囚人Bは自白した方がよい。

WS000011.jpg
以上のことから、囚人Bは囚人Aがどちらを選んでも「自白する」を選択することで利益を最大化することができる。

つまり

2人の囚人両方の目線で考えたことで、
WS000012.jpg
囚人Aも囚人Bも「自白する」ことで自分の利益を最大化できることが分かった。
この状況になったとき、「自白する」を選択するべきだと言える。

めでたしめでたし。

ところで

ところで、2人の囚人は本当に最大の利益を得ることができたのだろうか。
2人の囚人が合理的な行動をした結果、2人とも7年の刑期に服すことになる。
7年の刑期より即釈放の方がうれしいことは明確である。
加えて、2人の総利益を考えたとき、(黙秘,黙秘)の-8(=-4+-4)>(黙秘,自白)or(自白,黙秘)の-10(=-10+0)>(自白,自白)の-14(=-7+-7)となり、利益は最大どころか最小ともいえる。
2人の間で相談ができれば(黙秘,黙秘)を実現させることは簡単だが、相談できず相手を信じることができないため、最良の結果を得ることができない。

これが囚人のジレンマである。

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