使用例

clipboard.jsは基本的にコピー対象のフォームのidを指定しますが、Vue.jsのv-modelで指定している場合は思ったように動作しません。
かわりに :data-clipboard-text で、Vueの対象dataの名前を指定してやればいいです。

index.html

<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/clipboard.js/1.6.0/clipboard.min.js"></script>
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/vue/2.2.6/vue.min.js"></script>

<div id="app">
    <input v-model="inputText" type="text">
    <button class="btn" :data-clipboard-text="inputText">Copy</button>

    <textarea v-model="textareaText"></textarea>
    <button class="btn" :data-clipboard-text="textareaText">Copy</button>
</div>

<script>
(function() {
'use strict';

var clipboard = new Clipboard('.btn');

clipboard.on('success', function(e) {
    console.info('Action:', e.action);
    console.info('Text:', e.text);
    console.info('Trigger:', e.trigger);

    e.clearSelection();
});

clipboard.on('error', function(e) {
    console.error('Action:', e.action);
    console.error('Trigger:', e.trigger);
});

var app = new Vue({
    el: "#app",
    data: {
        inputText: "クリップボードコピーテスト(input)",
        textareaText: "クリップボードコピーテスト(textarea)"
    }
});

})();
</script>

参考

clipboard.js — Copy to clipboard without Flash
フォーム入力バインディング - Vue.js

[Vue.js][clipboard.js] Vue.jsとclipboard.jsを組み合わせて使用する

使用例

参考