ポアソン流の合成 2.1

問題

K個のポアソン流のそれぞれの時間$t$間の到着数平均値を$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_K$とします．これらを一つに合成すると，平均値$\Sigma_{k=1}^{K}\lambda_k$をもつポアソン流となることを示してください．

解答

それぞれの平均値が$\lambda_1\lambda_2$である二つのポアソン流が合成されることを考える．平均$\lambda_1$で時間$t$内にn個のイベント生起する確率は$P_1(n)=\frac{(\lambda_1t)^ne^{-\lambda_1t}}{n!}$なので，合成された流れで時間$t$内にn個のイベント生起する確率は

\begin{align}
P(n)&=\Sigma_{j=0}^{n}P_1(j)P_2(n-j) \\
&=\Sigma_{j=0}^{n}\frac{(\lambda_1t)^je^{-\lambda_１t}}{j!}\frac{(\lambda_2t)^{(n-j)}e^{-\lambda_2t}}{(n-j)!} 
\end{align}

組合せの総数は $\binom{n}{j}=\frac{n!}{(n-j)!j!}$ でしたので
$$P(n)=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}}{n!}\Sigma_{j=0}^{n}\binom{n}{j}(\lambda_1t)^j(\lambda_2t)^{(n-j)}$$
さらに$(a+b)^n=\Sigma_{j=0}^{n}\binom{n}{j}a^jb^{(n-j)}$を適用すると

\begin{align}
P(n)&=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}}{n!}(\lambda_1t+\lambda_2t)^n \\
&=\frac{(\lambda t)^ne^{-\lambda t}}{n!}
\end{align}

これは平均$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$のポアソン流である．さらにここに平均$\lambda_3$のポアソン流を合成すると同じ計算で$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$のポアソン流となり，K個のポアソン流の合成は平均値$\Sigma_{k=1}^{K}\lambda_k$をもつポアソン流となることがわかりました．