問題

真空中($\rho=0, {\bf j} = {\bf 0}$)のMaxwell方程式を用いて、以下が成り立つことを示しなさい(今後の応用のため、cgs単位系で記述します)。

(1)

\frac{\partial U_{\rm field}}{\partial t} = - \nabla \cdot {\bf S}

ただし

U_{\rm field} \equiv \frac{1}{8\pi}(E^2 + B^2), {\bf S} \equiv \frac{c}{4\pi} {\bf E} \times {\bf B}

(2)

\frac{\partial g_j}{\partial t} = - \nabla \cdot {\bf M}_j

ただし$j = x, y, z$で

{\bf M}_j \equiv (M_{jx}, M_{jy}, M_{jz}), M_{ji} \equiv -\frac{1}{4\pi} \left( E_j E_i - \frac{1}{2} E^2 \delta_{ji} + B_j B_i - \frac{1}{2} B^2 \delta_{ji} \right), {\bf g} \equiv \frac{1}{4\pi c}{\bf E} \times {\bf B}

で、途中の$\delta_{ji}$はクロネッカーのデルタです。

(3)

似たような式に電荷保存の式があります。

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf j} = 0

ここで${\bf j}$は電流ベクトルです。それらの式と今回導いた式は同様の形をしていますが、第一項がこの意味、第二項がこの意味といったようにそれぞれの物理的意味を考えてみましょう。

解答例

(1)

復習として、真空中でのマクスウェル方程式を示しておきましょう。
ガウスの法則

\nabla \cdot {\bf E}= 4\pi \rho = 0

磁場のガウスの法則(磁気モノポールがないことを示す式)

\nabla \cdot {\bf B} = 0

ファラデーの法則

\nabla \times {\bf E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}

アンペール・マクスウェルの法則

\nabla \times {\bf B} = \frac{4\pi}{c} {\bf j} + \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}

では、諸々の量を定義しておきましょう。

U_{\rm field} = \frac{1}{8\pi} (E^2 + B^2) 

{\bf S} = \frac{c}{4\pi} {\bf E} \times {\bf B}

{\bf M}_j = (M_{jx} , M_{jy}, M_{jz})

M_{ji} = \frac{1}{8\pi} (E^2 + B^2)\delta_{ji} - \frac{1}{4\pi} (E_j E_i + B_j B_i)

{\bf g} = \frac{1}{4\pi c} {\bf E} \times {\bf B}

では式を導出しましょう。

\frac{\partial U_{\rm field}}{\partial t}
= \frac{1}{4\pi} ( {\bf E} \cdot \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + {\bf B} \cdot \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}) 
= \frac{1}{4\pi} \left( {\bf E} \cdot (c \nabla \times {\bf B}) + {\bf B} \cdot (-c \nabla \times {\bf E})\right) = \frac{c}{4\pi} \left( {\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf B}) - {\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf E})\right)

一方、

\nabla \cdot {\bf S} = \frac{c}{4\pi} \nabla \cdot ({\bf E} \times {\bf B}) = \frac{c}{4\pi} \left( {\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf E}) - {\bf E} \cdot (\nabla \times {\bf B})\right)

途中、ベクトル解析の公式を用いました。以上より

\frac{\partial U_{\rm field}}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf S} =0

(2)

\frac{\partial {\bf g}}{\partial t} = \frac{1}{4\pi c} (\frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \times {\bf B} + {\bf E} \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} )= \frac{1}{4\pi c} ((c \nabla \times {\bf B}) \times {\bf B} + {\bf E} \times (-c \nabla \times {\bf E})) = \frac{1}{4\pi} ((\nabla \times {\bf B}) \times {\bf B} - {\bf E} \times (\nabla \times {\bf E}))

上式の$i$成分のみを書き出してみましょう。

\frac{\partial g_i}{\partial t} = \frac{1}{4\pi} (\epsilon_{ijk}(\nabla \times {\bf B})_j B_k - \epsilon_{ijk} E_j (\nabla \times {\bf E})_k) = \frac{1}{4\pi} (\epsilon_{ijk}\epsilon_{jlm}(\partial_l B_m) B_k - \epsilon_{ijk} E_j \epsilon_{klm}(\partial_l E_m)) \\
= \frac{1}{4\pi} (\epsilon_{jki}\epsilon_{jlm}(\partial_l B_m) B_k - \epsilon_{kij} \epsilon_{klm}E_j (\partial_l E_m)) \\
= \frac{1}{4\pi} ((\delta_{kl}\delta_{im} - \delta_{km}\delta_{il})(\partial_l B_m) B_k - (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})E_j (\partial_l E_m)) \\
= \frac{1}{4\pi} ((\partial_k B_i)B_k - (\partial_i B_k) B_k - E_j(\partial_i E_j) + E_j (\partial_j E_i)) \\
= \frac{1}{4\pi} \left( ({\bf B} \cdot \nabla)B_i - \frac{1}{2}\partial_i B^2 - \frac{1}{2} \partial_i E^2 + ({\bf E} \cdot \nabla )E_i\right)

一方、${\bf M}_j$, $M_{ji}$の定義より

\nabla \cdot {\bf M}_j = \partial_i M_{ji} = \partial_i \left( \frac{1}{8\pi} (E^2 + B^2)\delta_{ji} - \frac{1}{4\pi} (E_j E_i + B_j B_i) \right)= \frac{1}{8\pi} \partial_j (E^2 + B^2) - \frac{1}{4\pi} \partial_i (E_j E_i + B_j B_i) \\
= \frac{1}{8\pi} \partial_j (E^2 + B^2) - \frac{1}{4\pi} \{ E_i  (\partial_i E_j) + E_j (\partial_i E_i) + B_i(\partial_iB_j) + B_j(\partial_iB_i) \} \\
= \frac{1}{8\pi} \partial_j (E^2 + B^2) - \frac{1}{4\pi} \{ ({\bf E} \cdot \nabla) E_j + E_j (\nabla \cdot {\bf E}) + ({\bf B} \cdot \nabla ) B_j + B_j (\nabla \cdot {\bf B}) \} \\
=\frac{1}{8\pi} \partial_j (E^2 + B^2) - \frac{1}{4\pi} (({\bf E} \cdot \nabla) E_j+ ({\bf B} \cdot \nabla ) B_j)

\therefore \ \frac{\partial g_j}{\partial t} +\nabla \cdot {\bf M}_j = 0

(3)

両辺を任意の体積$V$で体積積分を行います。するとガウスの定理より

\iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV + \iint_S {\bf j} \cdot d{\bf S} 
= 0
\ \Longrightarrow \ \frac{\partial}{\partial t}\iiint_V \rho dV = - \iint_S {\bf j} \cdot d{\bf S}

$S$は体積$V$を囲う閉曲面、$d{\bf S}$はその閉曲面の面積要素ベクトル(大きさ$dS$、向きは面に垂直で外向き)をそれぞれ表します。この式は体積$V$内の全電荷の時間変化(第一項)が閉曲面を通過する電流密度ベクトルの総和(第二項)に等しいという事を意味しています。
この式は電磁気のみならず、流体力学でも出てくるでも出てきます。$\rho$を質量密度、${\bf j}=\rho {\bf v}$を質量フラックスとすればこの式は流体力学における質量保存則を表す式となります。ちなみに、両辺を体積積分したときに保存則が導かれるような形の式を保存形式と呼びます。