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ストークスパラメータ

問題

電磁波の電場の各成分が

E_x = a_1 \cos (\tau + \delta_1)\\
E_y = a_2 \cos (\tau + \delta_1 +\delta)

のように表されるとします。
偏光状態は通常、ストークスパラメータ(Stokes parameters)と呼ばれる以下の4つの物理量で表されます。

I = a_1^2 + a_2^2 \\
Q = a_1^2 - a_2^2 \\
U = 2 a_1 a_2 \cos \delta \\
V = 2a_1 a_2 \sin \delta

(1)

以下の関係式を示せ。

I^2 
= Q^2 + U^2 +V^2 \tag{*1}

この式から、独立なストークスパラメータは3つであり、これは偏光状態を特徴づける物理量は$a_1, a_2, \delta$の3つであったことに対応しています。

(2)

以下の4つの場合について、電磁波の電場成分の振動方向を$xy$平面内に図示しなさい。

2-1

$\delta = 0, Q>0, U=0$

2-2

$\delta = 0, Q<0, U=0$

2-3

$\delta = 0, Q=0, U<0$

2-4

$\delta = 0, Q=0, U<0$

解答例

(1)

Q^2 + U^2 + V^2
= a_1^4 - 2a_1^2a_2^2 + a_2^4 + 4a_1^2a_2^2\cos^2 \delta + 4a_1^2 a_2^2\sin^2 \delta
=a_1^4 + 2a_1^2a_2^2 a_2^4
=(a_1^2+a_2^2)^2 
= I^2

(2)

2-1

$\delta=0$より

U=2a_1a_2=0 \ \Longrightarrow \ a_1=0 \ {\rm or} \ a_2=0

さらに$Q=a_1^2-a_2^2>0$より$a_2=0$。よって電場を図示すると以下のようになります。
henko1.jpg

2-2

$\delta=0$より

U=2a_1a_2=0 \ \Longrightarrow \ a_1=0 \ {\rm or} \ a_2=0

さらに$Q=a_1^2-a_2^2<0$より$a_1=0$。よって電場を図示すると以下のようになります。
henko2.jpg

2-3

$Q=0$より

Q=a_1^2-a_2^2>0 \ \Longrightarrow \ a_1=\pm a_2

さらに$\delta=0$より$U=2a_1a_2>0$。よって電場を図示すると以下のようになります。
henko3.jpg

2-4

$Q=0$より

Q=a_1^2-a_2^2>0 \ \Longrightarrow \ a_1=\pm a_2

さらに$\delta=0$より$U=2a_1a_2<0$。よって電場を図示すると以下のようになります。
henko4.jpg

補足

以上の問題から、直線偏光のときは$V=0$であり、$V$は円偏光を特徴づける量といえます。円偏光のときは$Q=U=0$であり、これらは直線偏光を特徴づける量といえます。$I$は強度と等価な量ですが、正確には平均強度の2倍の量です。(*1)が成り立つ時、電磁波は完全偏光している、といいます。単色電磁波は必ずいずれかの偏光状態に完全偏光しています。
しかし現実の電磁波は全てが完全偏光している訳ではありません。例えば、多くの自然光は無偏光です。以下、無偏光の電磁波がどのように実現しているのかを考察しましょう。多くの場合、現実の電磁波は継続時間が有限のパルス波の重ね合わせで実現しています。このパルス波を波連と呼びます。一つの波連はある特定の偏光状態にあるとしましょう。無偏光の電磁波は、この波連の初期位相と発せられる時刻および偏光状態がランダムであるときに実現します。波連の継続時間より十分長い観測時間で偏光板を使って観測することを考えます。特別な芳香が存在しないので、偏光板をどの方向に傾けても得られる強度は一定になります。したがって、直線偏光していないという測定結果を得ます。同様に円偏光を測定しても、右廻りと左廻りがほぼ同数存在するため、円偏光していないという結果になります。これが無偏光状態であり、

Q=0, \ U=0, \ V=0

となります。一方、現実の電磁波での完全偏光した状態とは、全ての波連が同じ偏光状態である場合です。一般の場合は、完全偏光した状態と無偏光状態の重ね合わせです。したがって、ストークスパラメータは

I^2 \geq Q^2 + U^2 + V^2

という関係式を満たします。そこで、電磁波の偏光の度合いを表す物理量として偏光度$\Pi$を以下のように定義します。

\Pi 
\equiv \frac{\sqrt{Q^2 + U^2 + V^2}}{I}

$0<\Pi<1$のとき、電磁波は部分偏光しているといいます。

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