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電磁ポテンシャルとゲージ変換

問題

(1)

マクスウェル方程式を2つのグループに分けなさい。

(2)

磁場のガウス則を表す式(磁気単極子がないことを表す式)を用いて、磁場${\bf B}$が

{\bf B} = \nabla \times {\bf A}

と書けることを示しなさい。

(3)

ファラデーの電磁誘導の法則

\nabla \times {\bf E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}

を用いて、電場${\bf E}$が

{\bf E} = - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}

と書けることを示しなさい。

(4)

残りのマクスウェル方程式から、電磁ポテンシャル$(\phi, {\bf A})$を求める方程式

\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}+ \frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \left( \nabla \cdot {\bf A} + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) 
= -4\pi \rho_e
\nabla^2 {\bf A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2}- \nabla \left( \nabla \cdot {\bf A} + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) 
= -\frac{4\pi}{c} {\bf j}

(5)

古典電磁気学では、電磁ポテンシャルでは計算を楽にするための便宜上のものであり、物理的に実在がある物理量とは考えません。それらから導出される電場・磁場が同一のものでありさえすれば、どんな形でも構いません。よって形を変えても観測量である電場・磁場が不変となるような場合、その変形を自由度と呼びます。${\bf B}' = \nabla \times {\bf A}', {\bf E}' = -\nabla \phi'-\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}'}{\partial t}$として、${\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi({\bf r}, t)$を代入し

\left\{
\begin{array}{l}
{\bf A}' = {\bf A}+ \nabla \chi({\bf r}, t)\\
\phi' = \phi -\frac{1}{c}\frac{\partial \chi}{\partial t}
\end{array}
\right.

なるゲージ変換では${\bf E}, {\bf B}$が不変であることを示しなさい。

(6)

\nabla \cdot {\bf A}' + \frac{1}{c}\frac{\partial \phi'}{\partial t} = 0

となるようなゲージ変換をローレンツゲージと呼びます。ローレンツゲージには

\nabla^2 \chi({\bf r}) = {\bf 0}

を満たす時間に依存しない関数$\chi({\bf r})$を用いて

{\bf A}'({\bf r}, t) = {\bf A} ({\bf r}, t)+ \nabla \chi({\bf r})

なるゲージ変換の自由度が残されていることを証明しなさい。

解答例

(1)

1つのグループは

\nabla \cdot {\bf E} = 4\pi \rho_e
\nabla \times {\bf B} = \frac{4\pi}{c}{\bf j} + \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t}

のグループで、これは電荷密度分布や電流密度分布という外的要因を含む方程式群です。もう一つのグループは

\nabla \cdot {\bf B} = 0
\nabla \times {\bf E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}

で、これは電場と磁場のみの方程式を中に含み、外的要因に依存しません。後者のグループを内部方程式(internal equations)と呼びます。

(2)

\nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) 
= \partial_i (\nabla \times {\bf A})_i 
= \partial_i \epsilon_{ijk} \partial_j A_k 
=  \epsilon_{ijk}\partial_i  \partial_j A_k 
= -\epsilon_{jik}\partial_i \partial_j A_k 
=-\partial_j \epsilon_{jik} \partial_i A_k 
= - \partial_j (\nabla \times {\bf A})_j 
= - \nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) \\
\ \Longrightarrow \ \nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) = 0

より磁場${\bf B} = \nabla \times {\bf A}$とすれば、磁場の発散をとったときにベクトル恒等式より$\nabla \cdot {\bf B}=0$が必ず成り立ちます。

(3)

\nabla \times {\bf E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times {\bf A}) \ \Longrightarrow \ 
\nabla \times \left( {\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) 
= 0

ここでベクトル恒等式

[\nabla \times (\nabla \phi)]_i 
= \epsilon_{ijk} \partial_j (\nabla \phi)_k 
= \epsilon_{ijk} \partial_j \partial_k \phi 
= -\epsilon_{ikj} \partial_j \partial_k \phi 
=-\epsilon_{ikj} \partial_k \partial_j \phi 
= -\epsilon_{ikj} \partial_k (\nabla \phi)_j 
= -[\nabla \times (\nabla \phi)]_i 
\ \Longrightarrow \ \nabla \times (\nabla \phi) 
= {\bf 0}

より${\bf E} + \frac{1}{c}\frac{\partial {\bf A}}{\partial t} = - \nabla \phi$とおけばよいことがわかります。

\therefore \ {\bf E} 
= - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}

(4)

\nabla \cdot {\bf E} 
= \nabla \cdot \left( -\nabla \phi -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) 
= - \nabla^2 \phi -\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot {\bf A}) 
= -\nabla^2 \phi + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} (\nabla \cdot {\bf A})
\Longrightarrow \ \therefore\ -\left( \nabla^2 -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \phi -\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf A}\right) 
= 4\pi \rho \tag{*1}

さらに

[\nabla \times (\nabla \times {\bf A})]_i 
= \epsilon_{ijk} \partial_j (\nabla \times {\bf A})_k 
= \epsilon_{ijk} \partial_j \epsilon_{klm} \partial_l A_m 
= \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} \partial_j  \partial_l A_m 
= \epsilon_{kij}\epsilon_{klm} \partial_j  \partial_l A_m
= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \partial_j  \partial_l A_m \nonumber \\
= \partial_j \partial_i A_j - \partial_j \partial_j A_i 
= \partial_i(\partial_j A_j) - \partial_j\partial_jA_i 
= [\nabla(\nabla \cdot {\bf A}) -\nabla^2 {\bf A}]_i \nonumber \\
\Longrightarrow \ \therefore \ \nabla \times (\nabla \times {\bf A}) 
= \nabla (\nabla \cdot {\bf A}) - \nabla^2 {\bf A}
\frac{4\pi}{c} {\bf j} + \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} 
= \frac{4\pi}{c}{\bf j} + \frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t}
\left( -\nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) 
= \frac{4\pi}{c}{\bf j} -\frac{1}{c} \nabla \frac{\partial \phi}{\partial t} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} \nonumber \\

以上より

- \left( \nabla^2 -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right){\bf A}+ \nabla \left( \nabla \cdot {\bf A} + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)= \frac{4\pi}{c}{\bf j} \tag{*2}

(5)

{\bf B}' = \nabla \times {\bf A}' = \nabla \times ({\bf A} + \nabla \chi ({\bf r}, t)) = \nabla \times {\bf A} + \nabla \times (\nabla \chi) = \nabla \times {\bf A} = {\bf B}
{\bf E}' = - \nabla \phi' -\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t} ({\bf A} + \nabla \chi) = -\nabla \left( \phi' + \frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t}\right) -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}

より

\left\{ \begin{array}{ll}
{\bf A}' = {\bf A} + \nabla \chi({\bf r}, t) \\
\phi' = \phi -\frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t}
\end{array} \right.

なるゲージ変換では${\bf E}, {\bf B}$は不変であることがわかります。

(6)

(*1), (*2)において$\phi \rightarrow \phi', {\bf A} \rightarrow {\bf A}'$のように置換をしてみましょう。

-\left( \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \phi' -\frac{1}{c} \frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{c}\frac{\partial \phi'}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf A}'\right) = 4\pi \rho
-\left( \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) {\bf A}' + \nabla \left( \nabla \cdot {\bf A}' + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi'}{\partial t}\right) = \frac{4 \pi}{c} {\bf j}

この2つの式において$\nabla \cdot {\bf A}' + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi'}{\partial t} = 0$となるようなゲージ変換、ローレンツゲージを考えると

\nabla \cdot {\bf A}' + \frac{1}{c} \frac{\partial \phi'}{\partial t} 
= \nabla \cdot \left( {\bf A} + \nabla \chi\right) + \frac{\partial}{\partial t} \left( \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t}\right) = 0 
\ \Longrightarrow \ \nabla \cdot {\bf A} + \frac{\partial \phi}{\partial t} 
= - \nabla^2 \chi + \frac{1}{c}\frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2}

もし、$\chi ({\bf r}, t) =\chi({\bf r})$かつ$\nabla^2 \chi = 0$であれば$\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\partial \phi}{\partial t}=0$が成立します。変換前と変換後の結果が等しくなっているので、この自由度が許されることがわかります。

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