はじめに

高校数学で学ぶ「数と式」「関数」「三角比」「集合」「データの分析」は、すべて現代のAI・機械学習・制御工学に密接に関わっています。
本シリーズでは、実教出版『数学I』の構成に沿って、それぞれのトピックがどのように実世界で活用されているのかを、具体的な数式・Pythonコードとともに読み解いていきます。

0.1 連立方程式の基礎

0.1.1 定義

連立方程式：未知数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ が登場する複数の式をまとめたもの。

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\ \ \vdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
$$
行列表現：係数行列 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$，未知数ベクトル $x \in \mathbb{R}^n$，定数ベクトル $b\in\mathbb{R}^m$ として

$$
A x = b
$$

0.1.2 解の種類

一意解：係数行列 $A$ の列が一次独立で，かつ $m=n$ の場合に存在。
無限解：未知数の自由度が残る場合（ランクが低い）。
解なし：方程式系が矛盾するとき。

0.2 代表的な解法

0.2.1 ガウスの消去法（前進消去と後退代入）

前進消去：ピボット選択→行基本変形で上三角行列化
後退代入：上三角から未知数を順に解く

for k = 1 … n-1:
  for i = k+1 … n:
    factor = A[i,k] / A[k,k]
    A[i,k:n] = A[i,k:n] - factor * A[k,k:n]
    b[i] = b[i] - factor * b[k]
# 後退代入
x[n] = b[n] / A[n,n]
for i = n-1 … 1:
  x[i] = (b[i] - sum_{j=i+1}^n A[i,j]*x[j]) / A[i,i]

0.2.2 逆行列による解法（正方行列のみ）

$$
x = A^{-1} b
$$

ただし，逆行列の計算コストが高いため，大規模系ではガウス消去や分解法を用いる。

0.2.3 LU分解

$$
A = L U,\quad L：下三角行列,\ U：上三角行列
$$

前進代入で $L y = b$ を解き
後退代入で $U x = y$ を解く

0.3 機械学習における連立方程式の役割

0.3.1 線形回帰モデル

観測データ ${(x^{(i)}, y^{(i)})}_{i=1}^N$ に対し，パラメータ $\theta\in\mathbb{R}^d$ を最小二乗法で推定：

$$
\min_\theta \sum_{i=1}^N \bigl(y^{(i)} - \theta^\mathsf{T} x^{(i)}\bigr)^2
$$

導関数をゼロにすると，連立方程式：

$$
X^\mathsf{T} X,\theta = X^\mathsf{T} y
$$

ここで，設計行列 $X\in\mathbb{R}^{N\times d}$，出力ベクトル $y\in\mathbb{R}^N$。

0.3.2 正則化付き線形回帰（リッジ回帰）

$$
(X^\mathsf{T}X + \lambda I),\theta = X^\mathsf{T}y
$$

$\lambda>0$ により，行列の条件数改善と過学習抑制を同時に達成。

0.4 応用例：Pythonによる実装スニペット

以下は，NumPy を用いて線形回帰パラメータを解く例。

import numpy as np

# ダミーデータ生成
N, d = 100, 2
X = np.random.randn(N, d)
theta_true = np.array([2.0, -1.0])
y = X @ theta_true + 0.1 * np.random.randn(N)

# 正規方程式による最小二乗解
# theta_hat = np.linalg.inv(X.T @ X) @ (X.T @ y)
# 安定的には lstsq を用いる
theta_hat, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)

print("推定パラメータ:", theta_hat)

第1章：数と式 × モデルの数式構造

● 1節：整式とモデルの構文理解

① 文字式の決まり → 線形モデルの基本式

高校数学：

$$
y = ax + b
$$

AIでは、これは線形回帰モデルの予測式：

$$
\hat{y} = wx + b
$$

def linear_model(x, w, b):
    return w * x + b

② 整式 → ニューラルネットワークの重み付き和

多項式：

$$
y = a_1x^2 + a_2x + a_3
$$

機械学習では、入力が複数の特徴量に対応：

$$
y = w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_nx_n + b
\quad \Rightarrow \quad y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b
$$

③ 加法・減法 → 損失関数の合成

$$
L = L_{\text{data}} + \lambda L_{\text{reg}}
$$

例：

L = mse_loss + lambda_ * l2_regularization

④ 乗法 → 内積・特徴量変換

$$
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
$$

これは、テンソル演算やフィルタ処理の基礎でもある。

⑤ 乗法公式 → 勾配の導出、非線形活性

$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$

損失関数の勾配展開
活性化関数（例：Softplus）の近似式

発展：3乗公式

$$
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
$$

非線形活性層の高次項近似にも用いられる。

⑥ 因数分解 → コード最適化・共通項抽出

$$
x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
$$

モデルの共通項抽出
コード圧縮・処理分岐の最小化などに応用

● 2節：実数とデータ表現

① 平方根とその計算 → L2ノルム、誤差距離

$$
d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
$$

import numpy as np
np.linalg.norm(x1 - x2)

② 実数 → センサ・画像・音声の連続値処理

実数（float型）が基本
離散信号の処理でも量子化の精度に直結

● 3節：方程式と不等式

① 1次方程式 → 最小2乗法によるパラメータ推定

$$
y = wx + b \quad \Rightarrow \quad \text{loss}(w) = (wx + b - t)^2
$$

→ 最小化で $w$ を学習

② 不等式 → if文、分類ロジック

if score > 0.5:
    return "positive"

③ 不等式の性質 → 論理演算と安全設計

両辺に負の値をかけると向きが逆
制御分野での閾値処理、電圧制限設計に応用

④ 1次不等式 → ReLU関数の実装

$$
f(x) = \max(0, x)
$$

def relu(x):
    return max(0, x)

⑤ 連立不等式 → 安全領域の設計、SVMのマージン領域

$$
a < x \leq b
\quad \Rightarrow \quad \text{安全な入力範囲}
$$

⑥ 不等式の応用 → 最適化、性能保証

効率の良い範囲探索
設計条件の制約式（制御工学・AI制約付き学習）

第2章：2次関数 × 最小値・活性化関数の曲線・最適化問題

🔹 1節：関数とグラフ

1. 1次関数とそのグラフ → 線形モデルの可視化

数学：

$$
y = ax + b
$$

AI・工学：

線形回帰の基本モデル
境界線の決定（例：ロジスティック回帰）

import matplotlib.pyplot as plt
x = [i for i in range(-5, 6)]
y = [2*i + 1 for i in x]  # y = 2x + 1
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.show()

2. 2次関数とそのグラフ → 活性化関数・損失関数の形状

数学：

$$
y = ax^2 + bx + c
$$

AI：

活性化関数の曲線（Softplus、Swishなど）
損失関数（mean squared error）の形状は基本的に「上に凸」の2次関数

🔹 2節：2次関数の値の変化

1. 最大値・最小値 → 最適化問題の核心

数学（頂点のx座標）：

$$
x = -\frac{b}{2a}
$$

工学・AI（最小値問題）：

パラメータ $w$ に対する損失関数 $L(w)$ を最小化
勾配降下法（Gradient Descent）の初学的導入に相当

例：

$$
L(w) = (wx + b - t)^2
$$

最小となる $w$ を探すのが学習

2. 2次関数と2次方程式 → ニューラルネットの出力解析

数学：

$$
ax^2 + bx + c = 0
$$

AI：

ニューラルネットの出力が2次形式になる場面で、解の存在条件や判別式が意味を持つ

判別式：

$$
D = b^2 - 4ac
$$

3. 2次関数と2次不等式 → 閾値条件・分類ロジック

数学：

$$
ax^2 + bx + c > 0
$$

AI・工学：

区間分類：ある範囲でのみONになる条件
ReLU^2 や 条件付き損失のような形状の出力関数に応用

例：SVM（サポートベクターマシン）
分類条件：

$$
y_i(w^\top x_i + b) \geq 1
\quad\text{（不等式でクラス分離）}
$$

第3章：三角比 × コンピュータビジョン・信号処理・ロボティクス

🔹 1節：三角比の定義と基本性質

1. 三角形の辺と角度 → 幾何ベースの推論

数学：

三角形の基本構成要素（角度・辺の長さ）

応用：

2D画像からの角度推定
ドローン・ロボットの姿勢計測
LiDARセンサでの距離と角度測定

2. 三角比の定義 → 回転行列・ベクトル投影

高校数学の定義：

$$
\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\quad
\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\quad
\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}
$$

応用：

ベクトルを回転させる際に、回転行列に三角比が含まれる

$$
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
$$

Python例（2D回転）：

import numpy as np
theta = np.radians(30)
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
v = np.array([1, 0])
rotated_v = R @ v

3. 三角比の利用 → ロボットの座標計算・ドローンの方向制御

モーションキャプチャやロボットの関節角の計算
座標変換における正弦・余弦の直接的使用
信号の位相処理でも sin, cos は不可欠

4. 三角比の相互関係 → 単位円・フーリエ変換への橋渡し

高校数学の恒等式：

$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$

応用：

信号処理における正弦・余弦波の性質
正規直交基底（Fourier基底）の導出に重要

🔹 2節：三角比の応用

1. 三角比の拡張 → 単位円での定義

$\theta$ が 0〜360°（あるいは $0$ 〜 $2\pi$）の任意角に拡張
回転・周期信号・MIDIノートの周期変換にも応用

2. 三角形の面積 → 工学的面積測定・画像領域分割

高校数学：

$$
S = \frac{1}{2} ab \sin C
$$

応用：

ロボットビジョンにおける三角分割
領域認識・ポリゴン内面積の計算

3. 正弦定理 → カメラ視点からの奥行き推定

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

三角測量（GPS・AR空間構築）
2点間の視差情報をもとに距離推定

4. 余弦定理 → ベクトルの内積、角度測定

$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$

AI応用：

コサイン類似度（ベクトル間の角度的距離）

$$
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$

Pythonコード：

def cosine_similarity(a, b):
    return np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))

5. 正弦定理と余弦定理の利用 → 3Dスキャン・センサ融合

深度推定（ステレオカメラ）
三角形的構造から未知の長さや角度を導出

第4章：集合と論証 × 論理・条件分岐・AIアルゴリズムの正しさ検証

🔹 1節：集合と要素 → データ属性と分類ロジック

1. 集合と要素の記述 → データベース・クラスタリング・if文制御

高校数学：

集合の表記：

$$
A = {x \in \mathbb{R} \mid x > 0}
$$
属する／属さない：

$$
x \in A,\quad y \notin B
$$

応用：

属性ベースの分類：
例）「温度 > 25℃ かつ湿度 < 60%」という条件集合
if文による分類制御：

if temp > 25 and humidity < 60:
    state = "Cool"

集合の演算と条件分岐の対応

数学記号	意味	Python対応
$A \cup B$	和集合	`A or B`
$A \cap B$	共通部分	`A and B`
$A \setminus B$	差集合	`A and not B`
$A^\complement$	補集合	`not A`

これらはすべて**ブール演算（論理回路）**と直結しています。

🔹 2節：命題と証明 → AIの判断と正しさの保証

1. 命題の構造 → 推論エンジン・ルールベースAIの論理形式

高校数学：

命題 $p \Rightarrow q$
真理値表、必要条件・十分条件の区別

AI応用：

条件つきルール推論：

$$
\text{「猫ならば哺乳類」} = (\text{is_cat} \Rightarrow \text{is_mammal})
$$

def infer_mammal(is_cat):
    if is_cat:
        return "Mammal"
    else:
        return "Unknown"

2. 命題の対偶・否定 → バグ回避・条件検証に不可欠

数学：

対偶：$p \Rightarrow q$ ⇔ $\neg q \Rightarrow \neg p$
否定：$\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land \neg q$

AIアルゴリズムの検証で重要：

「結果が偽なら前提も偽でなければならない」
→ ユニットテストや例外処理の論理的設計に活用

3. 証明法 → アルゴリズムの正しさの保証

証明法	数学での内容	AI／工学的応用
直接証明	$A \Rightarrow B$ をそのまま示す	推論の正しさ証明
対偶証明	$\neg B \Rightarrow \neg A$	バグ回避、逆検証
背理法	矛盾を導いて否定	ロジックチェッカーの反証
全称命題	任意の $x$ に対して成り立つことを証明	汎用的アルゴリズムの正当性確認
存在命題	ある $x$ に対して成り立つ	サンプル例による動作検証

第5章：データの分析 × 統計処理・線形回帰・機械学習

🔹 1節：データの分析とモデル設計

1. 統計とグラフ → 可視化・前処理の基本

高校数学：

度数分布・折れ線グラフ・ヒストグラムなどによるデータの可視化

AI・データ分析：

**EDA（探索的データ解析）**の初手は、まさにグラフ化

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(data, bins=10)
plt.title("Histogram of Input Data")
plt.show()

2. 度数分布表とヒストグラム → 正規化前の分布確認

数学：

ヒストグラムにより分布形状（正規・右偏・左偏など）を把握

AI：

ヒストグラム＝特徴量の「偏り」を把握 → スケーリングや正規化に活かす

3. 代表値（平均・中央値・最頻値） → データの中心と特性の把握

数学：

$$
\text{平均} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i,\quad
\text{中央値} = \text{中央値位置の値},\quad
\text{最頻値} = \text{出現回数最大の値}
$$

AI応用：

平均：標準化や重心、初期重みの推定
中央値：外れ値除去（ロバスト指標）
最頻値：分類ラベルの多数決（mode分類）

4. データの散らばり → 分散・標準偏差・正規化の指標

高校数学：

$$
\text{分散} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2,\quad
\text{標準偏差} = \sqrt{\text{分散}}
$$

AI：

入力データのスケーリング（平均0、分散1）に用いられる

x_norm = (x - x.mean()) / x.std()

5. 相関関係 → 線形回帰・特徴量選択の前提

数学：

$$
r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}
$$

$r > 0$：正の相関
$r < 0$：負の相関
$|r| \approx 1$：強い線形関係

AI・統計学：

相関係数を使って、予測に有効な特徴量を選定（特徴選択）

🔹 線形回帰：高校数学の1次関数がそのままモデルに

線形回帰のモデル式

$$
\hat{y} = wx + b
$$

これは高校数学の：

$$
y = ax + b
$$

と完全に一致。

損失関数（誤差関数）

$$
L(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - y_i)^2
$$

→ 最小二乗法（最小になるような w, b を求める）

実装（scikit-learn 例）

from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = [[x1], [x2], [x3], ...]
y = [t1, t2, t3, ...]

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

print("傾き:", model.coef_)
print("切片:", model.intercept_)

🔗 参考リンク

実教出版数学I 目次