1. campbel2525

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<h2>概要</h2>
<p>
今回は<a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>で導出したマクスウェルの方程式を「アインシュタインの縮約記法」
を使用すると簡潔にかけるのでやってみたいと思います。
相対論的なマクスウェルの方程式と呼びましょう。
</p>
<h2>シリーズ</h2>
-<p>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</p>
-<p>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式(プログラム) 未</p>
-<p>相対論的なマクスウェルの方程式 未</p>
-<p>相対論的なマクスウェルの方程式(プログラム) 未</p>
+<a href="https://qiita.com/campbel2525/items/004270f9f89818b08e12>物理・数学のページについて
+</a>
<h2>結果</h2>
```math
\boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{電磁ポテンシャル}
```
```math
\boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4元電流密度}
```
```math
\Box A^\mu - ∂^\mu \left(∂_\nu A^\nu \right)
= - \mu_0 i^\nu \tag{相対論的なマクスウェルの方程式}
```
```math
∂_\nu i^\nu = 0 \tag{相対論的な電荷の保存則}
```
```math
∂_\nu A^\nu = 0 \tag{相対論的なローレンツ条件}
```
<h2>証明</h2>
<p><a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>の(7)式、(8)式からスタートする。再度式番号は振り直す。</p>
```math
\left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \boldsymbol{A} -
\mathbf{grad} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{∂ \phi}{∂t} \right) = - \mu_0 \boldsymbol{i} \tag{1}
```
```math
\triangle \phi\ + \mathbf{div} \frac{∂ \boldsymbol{A}}{∂t} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{2}
```
<p>まず(2)式を(1)式に近づけることから始める。</p>
(i)左辺に$ \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \phi}{∂t^2} $を足して引く。
```math
\left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \phi
+
\mathbf{div} \frac{∂ \boldsymbol{A}}{∂t}
+
\frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \phi}{∂t^2}
=
- \frac{\rho}{\varepsilon_0}
```
(ii)左辺の第二項以降を$\frac{∂}{∂t}$でくくる。
```math
\left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \phi
+
\frac{∂}{∂t} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{∂ \phi}{∂t} \right)
=
- \frac{\rho}{\varepsilon_0}
```
(iii)両辺をcで割る。
```math
\left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \frac{\phi}{c}
+
\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c} \frac{∂}{∂t} \frac{\phi}{c} \right)
=
- \frac{1}{c} \frac{\rho}{\varepsilon_0}
```
(iiii)ここで、<a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>の出てきたものと(5)式を導入すると
```math
\boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{3: 電磁ポテンシャル}
```
```math
\boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4: 4元電流密度}
```
```math
\frac{∂ }{∂w} = \frac{1}{c} \frac{∂ }{∂t} \tag{5}
```
```math
\left( \triangle - \frac{∂^2}{∂w^2} \right) A^0
+
\frac{∂}{∂w} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{∂}{∂w} A^0 \right)
=
- \mu_0 i^0 \tag{6}
```
となる。(6)式と(1)式は同じような形をしている。なので、「アインシュタインの縮約記法」を用いると
```math
\Box A^\mu - ∂^\mu \left(∂_\nu A^\nu \right)
= - \mu_0 i^\nu \tag{14: 相対論的なマクスウェルの方程式}
```
なる。終わり。
<h2>相対論的な電荷の保存則</h2>
電荷の保存則も簡単にかける。
```math
∂_\nu i^\nu = 0 \tag{15: 相対論的な電荷の保存則}
```
<h2>相対論的なローレンツ条件</h2>
ローレンツ条件も簡単にかける。
```math
∂_\nu A^\nu = 0 \tag{16: 相対論的なローレンツ条件}
```