1. campbel2525

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+相対論的なマクスウェルの方程式
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+<h2>概要</h2>
+<p>
+今回は<a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>で導出したマクスウェルの方程式を「アインシュタインの縮約記法」
+を使用すると簡潔にかけるのでやってみたいと思います。
+相対論的なマクスウェルの方程式と呼びましょう。
+</p>
+
+<h2>シリーズ</h2>
+<p>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</p>
+<p>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式(プログラム) 未</p>
+<p>相対論的なマクスウェルの方程式 未</p>
+<p>相対論的なマクスウェルの方程式(プログラム) 未</p>
+
+<h2>結果</h2>
+
+```math
+ \boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{電磁ポテンシャル}
+```
+
+```math
+ \boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4元電流密度}
+```
+
+```math
+ \Box A^\mu - ∂^\mu \left(∂_\nu A^\nu \right)
+ = - \mu_0 i^\nu \tag{相対論的なマクスウェルの方程式}
+```
+
+```math
+ ∂_\nu i^\nu = 0 \tag{相対論的な電荷の保存則}
+```
+
+```math
+ ∂_\nu A^\nu = 0 \tag{相対論的なローレンツ条件}
+```
+
+
+<h2>証明</h2>
+<p><a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>の(7)式、(8)式からスタートする。再度式番号は振り直す。</p>
+
+```math
+ \left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \boldsymbol{A} -
+
+ \mathbf{grad} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{∂ \phi}{∂t} \right) = - \mu_0 \boldsymbol{i} \tag{1}
+```
+
+```math
+ \triangle \phi\ + \mathbf{div} \frac{∂ \boldsymbol{A}}{∂t} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{2}
+```
+
+
+
+
+<p>まず(2)式を(1)式に近づけることから始める。</p>
+(i)左辺に$ \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \phi}{∂t^2} $を足して引く。
+
+```math
+ \left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \phi
+ +
+ \mathbf{div} \frac{∂ \boldsymbol{A}}{∂t}
+ +
+ \frac{1}{c^2} \frac{∂^2 \phi}{∂t^2}
+ =
+ - \frac{\rho}{\varepsilon_0}
+```
+
+(ii)左辺の第二項以降を$\frac{∂}{∂t}$でくくる。
+
+```math
+ \left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \phi
+ +
+ \frac{∂}{∂t} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{∂ \phi}{∂t} \right)
+ =
+ - \frac{\rho}{\varepsilon_0}
+```
+
+(iii)両辺をcで割る。
+
+```math
+ \left( \triangle - \frac{1}{c^2} \frac{∂^2}{∂t^2} \right) \frac{\phi}{c}
+ +
+ \frac{1}{c} \frac{∂}{∂t} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c} \frac{∂}{∂t} \frac{\phi}{c} \right)
+ =
+ - \frac{1}{c} \frac{\rho}{\varepsilon_0}
+```
+
+(iiii)ここで、<a>ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式</a>の出てきたものと(5)式を導入すると
+
+```math
+ \boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{3: 電磁ポテンシャル}
+```
+
+```math
+ \boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4: 4元電流密度}
+```
+
+```math
+ \frac{∂ }{∂w} = \frac{1}{c} \frac{∂ }{∂t} \tag{5}
+```
+
+```math
+ \left( \triangle - \frac{∂^2}{∂w^2} \right) A^0
+ +
+ \frac{∂}{∂w} \left( \mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{∂}{∂w} A^0 \right)
+ =
+ - \mu_0 i^0 \tag{6}
+```
+
+となる。(6)式と(1)式は同じような形をしている。なので、「アインシュタインの縮約記法」を用いると
+
+```math
+ \Box A^\mu - ∂^\mu \left(∂_\nu A^\nu \right)
+ = - \mu_0 i^\nu \tag{14: 相対論的なマクスウェルの方程式}
+```
+なる。終わり。
+
+
+
+<h2>相対論的な電荷の保存則</h2>
+電荷の保存則も簡単にかける。
+
+```math
+ ∂_\nu i^\nu = 0 \tag{15: 相対論的な電荷の保存則}
+```
+
+<h2>相対論的なローレンツ条件</h2>
+ローレンツ条件も簡単にかける。
+
+```math
+ ∂_\nu A^\nu = 0 \tag{16: 相対論的なローレンツ条件}
+```