数学
解析

解析入門 1 問題1.1 解答

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松坂和夫 解析入門<1>(ISBN: 978-4007304514) の解答です。

問題 1.1

1

問題

$x$ が有理数、$y$ が無理数ならば、$x+y$ は無理数であることを示せ。

回答

$x+y$ が有理数であると仮定して、$x+y=\frac{q}{p}$ とおく。
$x$ を移項して、$y=\frac{q}{p}-x$。
これは $y$ が無理数であるという前提に反するので、$x+y$ は無理数。

2

問題

$x$ が $0$ でない有理数、$y$ が無理数ならば、$xy$ は無理数であることを示せ。

回答

$xy$ が有理数であると仮定して、$xy=\frac{q}{p}$ とおく。
$x$ を移項して、$y=\frac{q}{px}$。
これは $y$ が無理数であるという前提に反するので、$x+y$ は無理数。

3

問題

整数 $a$ に対して $a^{2}$ が $3$ の倍数ならば $a$ 自身 $3$ の倍数であることを示せ。このことを用いて $\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$ が無理数であることを証明せよ。

回答

$a$ が $3$ の倍数でなければ、$a^{2}$ の素因数に $3$ は含まれない。従って、$a^{2}$ は $3$ の倍数ではない。対偶が証明された。

4

問題

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

回答

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数だと仮定し、$\sqrt{2}+\sqrt{3} = \frac{n}{m}$ とおく。

(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \\
= \sqrt{2}^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}^2 \\
= 5 + 2\sqrt{6} \\
= \frac{n^{2}}{m^{2}} \\
\sqrt{6} = \frac{n^{2}}{2m^{2}} - \frac{5}{2}

より、$\sqrt{6}$ が有理数となるが、これは問題の前提と矛盾する。
よって、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数。

5

問題

数直線上に無理数も稠密に存在すること、すなわち、$x \in \mathbb{R}$、$y \in \mathbb{R}$、$x<y$ ならば、$x<z<y$ を満たす無理数 $z$ が存在することを証明せよ。

回答

$x<r_{1}<r_{2}<y$ とおく。($r_{1}$、$r_{2}$ は有理数)
$1<\sqrt{2}<2$ かつ、$\sqrt{2}$ は無理数なので、$z = r_{1}+\frac{\sqrt{2}}{2}(r_{2}-r_{1})$ とおくと $z$ は $x<z<y$ を満たす無理数。