メモ：四元数の大円

　素人のメモ書き。
　理解していない。間違ってるかも。

　四元数には向きの自由度が3つあるので、極座標(向きの自由度が2つ)の大円を求めようとしてもLerpやSlerpだけではうまく求められない?
　一旦2本のベクトルに変換し、ベクトルのクロス積で回転軸を求め、ドット積で回転角を求める。それを使って四元数を作って、最初の四元数とかけることで大円の姿勢が得られる。

public static (Quaternion, Quaternion) GrateCircle(Quaternion q, Quaternion p)
{
    var v1 = Vector3.Transform(Vector3.UnitX, q);
    var v2 = Vector3.Transform(Vector3.UnitX, p);
    return (q,
        Quaternion.CreateFromAxisAngle(
            Vector3.Normalize(Vector3.Cross(v1, v2)),
            MathF.Acos(Vector3.Dot(v1, v2))) * q);
}

　白い線は極座標から作った四元数を直接Quaternion.Lerpに渡して補間したもの(Slerpも同様の結果)。緑の線はGrateCircleで再生成した四元数をQuaternion.Lerpに渡して補間したもの。
　Google Earthで線を引くと緑の線に近い経路をたどる。

　地図上で2点間の大圏コースを引くとかなり違和感のある形になるけど、人工衛星の軌道だと思って見てみると、そんなに違和感ない気もする。

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　なんで大円を求めるのに四元数とか使ってるんだ、というツッコミは御容赦を。。。Google Earthでわかりやすいように地図を表示しているが、元々は地理関係以外で使う予定だったのでインターフェースが四元数になっている。

　地図のデータはNASAの画像を使用した
　Blue Marble: Land Surface, Shallow Water, and Shaded Topography