第1章 単位や大きさなどの基礎知識
第1章 量・長さ・広さのはなし
1. 量・長さ・広さのはなし
(1) 数と量の違い
-
数（number）：順序や個数を表すもの。
例：窓が3枚ある → 数量的情報。 -
量（quantity）：大きさや広がりを持つもの。単位と組み合わせて意味をもつ。
例：梁の長さ 5.2 m、コンクリートの体積 12.5 m³。
式：
量 = 数値 × 単位
Q = n × [unit]
建築的解説：
建築では「寸法」も「性能」も、すべて量で表現される。
たとえば「断熱性能 U 値」は
U = 熱流量 / (面積 × 温度差)
単位: W / (m²·K)
という量的関係で定義される。
(2) 長さ（Length）
基本単位：
1 m = 1000 mm
1 mm = 0.001 m
式例：
L_total = ΣL_i
（例）床の周囲寸法 L = L1 + L2 + L3 + L4
建築的解説：
長さは構造・仕上げ・施工精度すべての基準。
鉄筋の曲げ寸法、柱スパン、天井高さなどの寸法体系は「モジュール（module）」＝910mmや1000mm単位で設計される。
木造建築では 1尺 = 303mm, 1寸 = 30.3mm が伝統的単位。
(3) 広さ（Area）
式：
長方形 A = a × b
三角形 A = 1/2 × 底辺 × 高さ
円 A = πr²
台形 A = (上底 + 下底) × 高さ / 2
建築的応用：
- 壁・屋根・床・窓など、外皮面積の計算に使う。
- 面積が増えると熱損失・材料量・工事費が比例して増加。
- 外壁面積 S [m²] × 材料単価 P [円/m²] = 費用 C [円]
例：
A_壁 = 高さ × 幅
C_塗装 = A_壁 × 単価
(4) 体積（Volume）
式：
直方体：V = 長さ × 幅 × 高さ
円柱：V = πr²h
円錐：V = (1/3)πr²h
球体：V = (4/3)πr³
建築的解説：
建物全体の体積は冷暖房負荷・音響体積の計算に直結する。
例：
- 室内容積 V[m³] が大きいほど、暖房に必要なエネルギーが増加。
- コンサートホールの音響設計では「V/座席数」が快適度を決める指標。
2. 割合のはなし
(1) 割・倍・百分率
式：
割合（％） = （部分 / 全体） × 100
建築的応用：
- 断熱材の厚みを10％増やした → 熱抵抗が1.1倍。
- 材料費が15％上昇 → コスト予測に使用。
- 光環境の改善率：照度変化比 E₂/E₁ × 100[%]。
(2) 縮尺（Scale）
式：
実寸 = 図面寸法 × 縮尺倍率
縮尺倍率 = 実寸 / 図寸
例：
1/100 図で「5cm」→ 実寸 5cm × 100 = 5m
1/50 図で「20mm」→ 実寸 1.0m
建築的解説：
縮尺は設計図の言語。
平面図では1/100（全体）、詳細図では1/10（部材）、断面詳細では1/5〜1/2まで拡大して表現される。
(3) 比例と反比例
式：
比例：y = kx （一定比 k）
反比例：y = k/x
建築的解説：
- 比例：荷重が2倍 → たわみも2倍（線形弾性範囲）
- 反比例：距離が2倍 → 光の照度は1/4に減少（照度 ∝ 1/d²）
- 構造強度や照明設計では比例関係が設計基準式の基礎。
3. 平均値のはなし
式：
平均値 = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
加重平均 = (Σwᵢxᵢ) / (Σwᵢ)
建築的解説：
- 室内温度や照度の「平均値」で環境の均一性を評価。
- 加重平均は壁や窓の割合が異なるときに使用（例：平均U値）。
U_avg = (Σ(Uᵢ·Aᵢ)) / (ΣAᵢ)
4. 単位のはなし
(1) 組立単位
- 長さ：m
- 面積：m²
- 体積：m³
- 力：N（ニュートン）
- 仕事・エネルギー：J（ジュール）
- 熱伝導率：W/(m·K)
式例：
1 N = 1 kg·m/s²
1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s²
建築的解説：
構造計算では「力（N）」、環境設計では「エネルギー（J）」が基本単位。
単位換算ミスは施工誤差や熱設計の重大エラーにつながるため、単位整合が極めて重要。
(2) 国際単位系（SI）
| 物理量 | 単位記号 | 名称 |
|---|---|---|
| 長さ | m | メートル |
| 質量 | kg | キログラム |
| 時間 | s | 秒 |
| 力 | N | ニュートン |
| エネルギー | J | ジュール |
| 温度 | K | ケルビン |
| 電力 | W | ワット |
建築的応用：
建築基準法・省エネ法・設備CADすべてSI単位系で統一されている。
設計図や積算書では「単位表記」が統一されていなければならない。
建築の面積に関する基礎知識
(1) 床面積
床面積 = 各階の内法寸法 × 対応長さ
→ 居室・廊下などの実際に使う床の面積。
(2) 延べ面積
延べ面積 = 各階の床面積の合計
→ 容積率の算出に使う。
容積率(%) = 延べ面積 / 敷地面積 × 100
(3) 建築面積
建築面積 = 建物の外周線で囲まれた水平投影面積
→ 建ぺい率の算出に使う。
建ぺい率(%) = 建築面積 / 敷地面積 × 100
建築的解説：
- 容積率：都市計画上、敷地に対する「建物の大きさ」を制限する指標。
- 建ぺい率：土地に対してどの程度の面積を建築に使ってよいかの割合。
- 法規上、バルコニー・ピロティ・庇などは特例的に算入・除外がある。
(4) 総合例題（建築基礎演習）
問題：
敷地面積 200 m²、1階 120 m²、2階 100 m² の住宅がある。
容積率 150%、建ぺい率 60% の地域で建築可能か？
計算：
延べ面積 = 120 + 100 = 220 m²
建築面積 = 120 m²
容積率 = 220 / 200 × 100 = 110%
建ぺい率 = 120 / 200 × 100 = 60%
結果：
容積率 → 150% 以下で OK
建ぺい率 → 60% 以内で ギリギリ適法
建築的考察：
容積率に余裕があるため、2階部分の一部をバルコニーにして通風採光を確保できる。
第2章 数式の基礎知識
1 面積と体積
式例：
三角形：S = 1/2·b·h
円：S = πr²
円柱：V = πr²h
四角錐：V = 1/3·S·h
建築的解説：
屋根・壁・柱などの**材料数量計算（積算）**の基礎。
コンクリート体積、屋根面積、外壁面積の算出に必須。
2 不等式と大小関係
式例：
a < b, a ≤ b
建築的解説：
安全設計で多用。
「設計応力度 ≤ 許容応力度」のように、不等式が安全の条件を表す。
3 比と比例式
式例：
a:b = c:d ⇔ ad = bc
建築的解説：
模型の縮尺、材料の混合比、照度の距離減衰（E ∝ 1/r²）など、比例関係を理解することでスケール感と実寸換算を正確に行える。
4 基本的な数式
式： ax + b = 0 → x = −b/a
→ 部材の中心位置や交点計算に使用。
5 平方根
式： √a × √b = √(ab)
建築応用： ピタゴラスの定理（直角三角形）で柱・梁の対角寸法を求める。
例：階段勾配 L = √(h² + d²)
6 連立方程式
式：
代入法・加減法
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
建築応用：
2本の直線（壁や梁）の交点計算や、力のつり合い条件（ΣFx=0, ΣFy=0）に利用。
7 二次方程式
式：
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
建築応用：
放物線アーチやドーム形状の設計。
例：y = ax² の軌跡は構造的に安定な「アーチ形状」を表す。
第3章 三角関数
1 三角形の角度と辺の関係
式：
sinθ = 対辺 / 斜辺
cosθ = 隣辺 / 斜辺
tanθ = 対辺 / 隣辺
建築応用：
屋根勾配（tanθ）、階段角度（tanθ = rise/run）などを求める。
2 三角関数を使う計算
式：
h = d·tanθ
S = 1/2·ab·sinC
建築的解説：
建物の高さや影の長さ、屋根面積、敷地勾配などを幾何的に求める。
地測や日射シミュレーションの基礎にもなる。
建築に関する三角関数
- 建物の高さ：tanθ = h/d
- 屋根の面積：A = A₀ / cosθ
- 敷地の面積：三角分割による総和
- 水平面照度：E = E₀·cosθ（照明工学）
第4章 ベクトル
1 ベクトルの性質・計算
式：
a = (aₓ, a_y)
|a| = √(aₓ² + a_y²)
a・b = |a||b|cosθ
建築応用：
風力・地震力などの力の方向成分を表現。
壁・梁にかかる斜めの力をx, y方向に分解。
2 ベクトルの作図と角度
式：
θ = cos⁻¹( (a・b) / (|a||b|) )
建築的解説：
柱や梁の交角計算、斜材の取り付け角、トラス構造の解析に使う。
建築に関するベクトルと三角関数
- 分力 Fx = F·cosθ, Fy = F·sinθ
- 合力 R = √(Fx² + Fy²)
→ 斜材やケーブル構造の張力分解に利用。
第5章 平面角と立体角
式：
S_扇形 = 1/2·r²θ
Ω = S / r²
建築応用：
日射角・照明角・視野角など、立体的な見え方の評価。
立体角Ωは照明設計や視環境工学で重要。
第6章 指数と対数
1 指数関数
式：
y = a^x, (dy/dx) = a^x ln a
建築応用：
- 照度の距離減衰（1/r²）
- 熱や音の減衰（I = I₀·e^(−kx)）
2 対数関数
式：
x = log_a y
log_a(xy) = log_a x + log_a y
建築応用：
- 音響レベル L = 10·log₁₀(I/I₀)
- 騒音・明るさ・振動など人間感覚スケールの表現。
第7章 微分・積分
微分の基礎
式：
f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)−f(x)] / h
(d/dx)xⁿ = n·xⁿ⁻¹
建築応用：
- 梁のたわみ曲線 y(x) の傾き θ = dy/dx、曲率 κ = d²y/dx²
- 屋根曲線やファサード曲面の滑らかさの設計指標。
積分の基礎
式：
∫_a^b f(x) dx = 面積
I = ∫ y² dA
建築応用：
- 断面二次モーメント I により部材の強さを評価。
- ドームやアーチの体積・重心・熱分布解析にも使用。
建築構造への応用（せん断力・曲げモーメント）
式：
V = dM/dx, M = ∫V dx
E·I·(d⁴y/dx⁴) = q(x)
建築解説：
- 梁のたわみ、床スラブのたわみ量、支点反力を解析。
- 設計上の「安全率」や「最適断面」を導く数理モデル。
第8章 グラフ
代表式：
比例 y = ax
反比例 y = a/x
二次関数 y = ax² + bx + c
指数関数 y = a^x
建築応用：
- 建物高さと風圧の関係（指数関数型）
- コストと構造重量の関係（二次関数的）
- グラフから「最も効率のよい構造設計点」を見つける。
