まず
微分は、グラフのある点の接線の傾きを求める操作と考えます。
接線は置いといて
傾きを求めるには、yの増加量/xの増加量をします。
(1,1)と(2,4)を通る直線の傾きは
\frac{1-4}{1-2}=\frac{-3}{-1}=3
といった具合。
増加量が限りなく小さいと限りなく接線に近づきます。
限りなく近いだとか、限りなく小さいということを表現するためには、
$\lim$を使います。記法は
$\lim_{d \to c}cd=c^2$
だとか
\lim_{d \to 0}2d+4=4
だとか。
（この記法に関する詳細な説明はしません。感覚で分かれ）
limを使って限りなく小さい増加量
いろんな方法がありますが、ここでは
$\lim_{h \to 0}\frac{(1)^2-(1+h)^2}{(1)-(1+h)}$
とします。
計算すると
\begin{align}
&\lim_{h \to 0}\frac{(1)^2-(1+h)^2}{(1)-(1+h)}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{1-1+2h+h^2}{1-1+h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2h+h^2}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}2+h\\
&=2
\end{align}
これが実数を用いて計算した結果。
ですが、1やらなんやらはある点の一つに過ぎないのでxに置きなおして計算してみましょう。
\begin{align}
&\lim_{h \to 0}\frac{(x)^2-(x+h)^2}{(x)-(x+h)}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^2-x^2+2xh+h^2}{x-x+h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}2x+h\\
&=2x
\end{align}
よって $y=x^2$のある点$x$の接線の傾きは$2x$であると求まりました。
導関数
この、微分（限りなく小さい増加量での傾きを得る計算を）した結果得られるものを
導関数と言います。導関数の表現は調べればわかる。調べて。
こんな面倒な長々とした式をいちいち計算するのか…？
微分公式があります。
$()'$は括弧内の導関数という意味。
x以外は定数。
\begin{align}
(x^a)' &= ax^{a-1}\\
\\
(a)' &= 0\\
(a+x)' &= 1\\
(a･f(x))' &= f'(x)
\end{align}
など、あとは調べろ。