pノルムがノルムであることの証明（p=1,2,∞のとき）

ノルムの定義

$V$は線形空間とする。実数値関数
$$||\cdot|| : V \to \{r | r\leq0\}$$
が次を満たすとき，$||\cdot||$はノルムであるという。

\begin{align*}
&①\ \ ||\alpha x|| = |\alpha|\cdot||x||\\
&②\ \ ||x+y|| \leq ||x||+||y|| \\
&③\ \ ||x||=0 \iff x=0 \ \ (Vの零元)
\end{align*}

pノルムの定義

数ベクトル空間$K^n := \{x | x=(x_1,\cdots,x_n)^\top, x_j \in K (1\leq j \leq n)\}$に対して，
次のような標準的なノルム（$p$ノルム）を定義する。

||x||_p := 
\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle \max_{1\leq i \leq n} |x_i| & (p=\infty)\\
\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} & (p\geq 1)
\end{array}\right.

pノルムがノルムであることの証明（K=ℝ，p=1,2,∞のときのみ）

p=1のとき

証明

||x||_1 := \sum_{i=1}^{n}|x_i| \ \ (\ = |x_1| + \cdots + |x_n|\ )

①

\begin{align*}
||\alpha x||_1 &= \sum_{i=1}^{n}|\alpha x_i|\ \ (\ = |\alpha x_1| + \cdots + |\alpha x_n|\ )\\
&= |\alpha|\sum_{i=1}^{n}|x_i|\ \ (\ = |\alpha|\cdot(|x_1| + \cdots + |x_n|)\ )\\
&= |\alpha|\cdot||x||_1\\
\end{align*}

②
三角不等式（$|x+y|\leq|x|+|y|$）より，

\begin{align*}
||x+y||_1 &= \sum_{i=1}^{n}|x_i + y_i|\ \ (\ = |x_1+y_1| + \cdots + |x_n+y_n|\ )\\
&\leq \sum_{i=1}^{n}(|x_i| + |y_i|)\ \ (\ = |x_1|+|y_1| + \cdots + |x_n|+|y_n|\ )\\
&= \sum_{i=1}^{n}|x_i| + \sum_{i=1}^{n}|y_i|\\
&= ||x||_1+||y||_1 \\
\end{align*}

③

\begin{align*}
||x||_1 = 0 &\iff \sum_{i=1}^{n}|x_i|=0\\
&\iff x_1 = \cdots = x_n = 0\\
&\iff x=0
\end{align*}

以上①～③から，$||\cdot||_1$はノルム。

p=2のとき

証明

||x||_2 := \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^\frac{1}{2} \ \ \left(\ = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}\ \right)

①

\begin{align*}
||\alpha x||_2 &= \left(\sum_{i=1}^{n}|\alpha x_i|^2\right)^\frac{1}{2} \ \ \left(\ = \sqrt{|\alpha x_1|^2 + \cdots + |\alpha x_n|^2}\ \right)\\
&= |\alpha|\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^\frac{1}{2} \ \ \left(\ = |\alpha|\sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}\ \right)\\
&= |\alpha|\cdot||x||_2\\
\end{align*}

②

\begin{align*}
||x+y||_2^2 - \left(||x||_2+||y||_2\right)^2 
&= \sum_{i=1}^{n}|x_i+y_i|^2 - \left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^{n}|y_i|^2}\right)^2\\
&= \sum_{i=1}^{n}|x_i|^2 + \sum_{i=1}^{n}|y_i|^2 + \sum_{i=1}^{n}2|x_iy_i| - \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2 + \sum_{i=1}^{n}|y_i|^2 + 2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2 \sum_{i=1}^{n}|y_i|^2}\right)\\
&= 2\left(\sum_{i=1}^{n}|x_iy_i| - \sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2 \sum_{i=1}^{n}|y_i|^2}\right)\\
&\leq 0\ \ (\because \text{Caucy-Schwarz}の不等式)
\end{align*}

③

\begin{align*}
||x||_2 = 0 &\iff \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^\frac{1}{2}=0\\
&\iff |x_1|^2=\cdots=|x_n|^2=0\\
&\iff x_1=\cdots=x_n=0\\
&\iff x=0
\end{align*}

以上①～③から，$||\cdot||_2$はノルム。

p=∞のとき

証明

||x||_{\infty} := \max_{1\leq i \leq n} |x_i|

①

\begin{align*}
||\alpha x||_{\infty} 
&= \max_{1\leq i \leq n} |\alpha x_i|\\
&= |\alpha|\max_{1\leq i \leq n} |x_i|\\
&= |\alpha|\cdot||x||_{\infty}\\
\end{align*}

②
三角不等式より，

\begin{align*}
||x+y||_{\infty} 
&= \max_{1\leq i \leq n} |x_i + y_i|\\
&\leq \max_{1\leq i \leq n} (|x_i| + |y_i|)\\
&\leq \max_{1\leq i \leq n} |x_i| + \max_{1\leq i \leq n} |y_i|\\
&= ||x||_{\infty}+||y||_{\infty} \\
\end{align*}

③

\begin{align*}
||x||_{\infty} = 0 
&\iff \max_{1\leq i \leq n} |x_i|=0\\
&\iff \forall i\ \ |x_i|=0\\
&\iff x=0
\end{align*}

以上①～③から，$||\cdot||_\infty$はノルム。