Python
数学
確率

2019年 東京大学文科系 第3問 をPythonで解こう


問題

問題は読売新聞 から引用.


 正八角形の頂点を反時計回りに $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ とする.また,投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のコインがある.

 点 $\mathrm{P}$ が最初に点 $\mathrm{A}$ にある.次の操作を $10$ 回繰り返す.

 操作:コインを投げ,表が出れば点 $\mathrm{P}$ を反時計回りに隣接する頂点に移動させ,裏が出れば点 $\mathrm{P}$ を時計回りに隣接する頂点に移動させる.

例えば,点 $\mathrm{P}$ が点 $\mathrm{H}$ にある状態で,投げたコインの表が出れば点 $\mathrm{A}$ に移動させ,裏が出れば点 $\mathrm{G}$ に移動させる.

 以下の事象を考える.

 事象 $S:$ 操作を $10$ 回行った後に点 $\mathrm{P}$ が点 $\mathrm{A}$ にある.

 事象 $T:$ $1$ 回目から $10$ 回目の操作によって,点 $\mathrm{P}$ は少なくとも1回,点 $\mathrm{F}$ に移動する.

(1) 事象 $S$ が起こる確率を求めよ.

(2) 事象 $S$ と事象 $T$ がともに起こる確率を求めよ.



コード

from itertools import product

from fractions import Fraction

def get_coords(moves):
'''
(1, 2, 3, 4) に対して (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4) を返す
ただし mod 8 で
'''

coords = [moves[0]]
for move in moves[1:]:
coords.append((coords[-1] + move) % 8)
return coords

movecases = product(*[(1, -1)]*10)
coordcases = [get_coords(movecase) for movecase in movecases]
print('(1)', Fraction(len([1 for case in coordcases if case[-1] == 0]), 2**10))
print('(2)', Fraction(len([1 for case in coordcases if 5 in case and case[-1] == 0]), 2**10))

以下が出力結果です.

(1) 17/64

(2) 33/512


コメント

$8$点に対して,$\mathrm{A}$ から順に座標 $0, 1, 2, \ldots, 7$ を設定すると,反時計回りは $+1$,時計回りは $-1$ で表現できます.そして,すべての場合についての点 $\mathrm{P}$ の座標の変化を記録していくだけです.座標 $8$ は一周して点 $\mathrm{A}$ を表すので,$\mod 8$ で座標を考えればうまくいきます.座標 $-1$ は $7$ と同じです.