Quantum Chemistry - Commuting Operators ##migrated

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Commuting Operators
https://www.youtube.com/watch?v=jw9BHoYsu9k&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=36

白
- オペレータAとオペレータBが同じ{|n>}を持つ時、commutatorsは0となる
  - commutatorの定義はこのビデオの左上ピンクの式
  - [オペレータA, オペレータB] = オペレータAオペレータB - オペレータBオペレータA
緑の式
- 固有値、固有関数の式
- このビデオの左下オレンジの式
紫の式
- 関数fのket表記をc_nとnのket表記で表した式
- このビデオの左上緑の式
ピンクの式
- |f>にcommutator[A,B]が作用したものを見る
- それはあらゆるnに関しての総和となる (2つ目の形)
- commutatorの定義よりAB - BAと表記される (3つ目の形)
黄色の式
- ピンクの式にて、積を展開して得られる
水色の式
- 黄色の式から
- オペレータBと|n>を固有関数の式で変形しb_nがつき
- オペレータAと|n>を固有関数の式で変形しa_nがついた式
オレンジの式
- 水色の式から
- オペレータAと|n>を固有関数の式で変形しa_nがつき
- オペレータBと|n>を固有関数の式で変形しb_nがついた式
紫の式
- 係数a_nとb_nをくくりだした
- その結果、係数の部分が0となる
ピンクの式
- 紫の式で係数が0になるので、総和の結果も0となる
黄色
- つまりcommutator[A,B]が0となる
- 意味としてはAとBはお互いにcommuteする
- 左上の緑を参照して
  - AとBが同じ|n>を持つ時、お互いにcommuteして
  - commutatorsが0となる
右上緑の式
- momentumとpositionのオペレータはお互いにcommuteせず
- commutatorは0にはならない
- つまりは「momentumとpositionは異なる固有関数を持つ」ことを意味する
- その結果として、2つの値を「正確に」「同時に」測定はできない