自動的にCircleCIがいい感じに調整してくれるのでGitHubのprivateリポジトリをCircleCIでテストするのは簡単ですが、テスト過程で他のprivateリポジトリをcloneするにはちょっとした工夫が必要になります。
CircleCIにuser keyを登録する
まずCircleCIの "Project settings" > "Checkout SSH keys" に行きます。
みたいなのがあるので、ボタンをクリックします。するとGitHubのOAuthページが表示され公開鍵への書き込み権限を要求されるので許可します。
これによりあなたのGitHubアカウントに新しい公開鍵が設定され、それに対応する秘密鍵がCircleCI上に登録されます。なので、あなたがアクセス権限を持つGitHub上のPrivateリポジトリにはこの時点で全てこのCircleCIのプロジェクトからはアクセスできるようになります。
GitHub外のPrivateリポジトリにアクセスできるようにする
GitHub以外のサービスや自分でホストしているPrivateリポジトリにアクセスできるようにするには、今回GitHubに登録された公開鍵を入手し、それを各種サービスに登録していく必要があります。
GitHubはユーザページのURLの末尾に .keys をつけるとそのユーザの公開鍵を表示する機能があるのでそれを使うと簡単に公開鍵を入手することができます。
その中で恐らく一番下にある公開鍵がCircleCIによって追加されたものなので、この公開鍵を登録すればCircleCIからそのリポジトリにアクセスできるようになります。