ベイズの定理

ベイズの定理とは

以下の式で表す、Bが起こった条件のもとでAが起こる確率が計算できるというもの。
$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)} {P(B)}$

真髄は、等号の左右で$P(A|B)と$P(B|A)が入れ替わっているところ。

例

クッキー問題

ボールが二つあり、それぞれクッキーが40個ずつ入っている。
ボール１には、バニラクッキーが30個、チョコレートクッキーが10個。
ボール２には、バニラクッキーが20個、チョコレートクッキーが20個。
目を閉じて、クッキーを１個とる。そのクッキーがバニラだったら、ボール１から取った確率は？？　を解く。

ベイズの式【$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)} {P(B)}$】を、BをV(バニラを選ぶ)、AをB1(ボール1を選ぶ)とすると、以下になる。
$P(B_{1}|V) = \frac{P(V|B_{1}) P(B_{1})} {P(V)}$

左辺は、バニラクッキーを選んだ時にボール１の確率なので、これを求めるため右辺を一つ一つ計算していく。

$P(V|B_{1})$
ボール1を選んだ時に、バニラクッキーである確率。
= $\frac{30} {40}$

P(B_{1})
ボール１を選ぶ確率。
= $\frac{1} {2}$

{P(V)}
バニラクッキーを選ぶ確率
= $\frac{50} {80}$

よって、以下と計算できる。

P(B_{1}|V) = \frac{P(V|B_{1}) P(B_{1})} {P(V)} \\
P(B_{1}|V) = \frac{(\frac{30} {40}) * (\frac{1} {2})} {\frac{50} {80}} \\
P(B_{1}|V) = \frac{3} {5}

選んだボールは不明だけど、クッキーがバニラだったという事実から、選んだボールの確率が求められちゃうというところがベイズの定理のすごいところ。