0.代数幾何と学習理論

最近「代数幾何と学習理論」を読んでいるが定義34の例がないので考えてみた。
紙のメモで置いておくとなくなるので、ここに残しておく。

1.例

X=\mathbb{R} \\
W=\{(\mu,\sigma)| (\mu,\sigma) \in \mathbb{R}^2\} \\
%\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\

q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \\

f: X \times W \to \mathbb{R} \\
\hspace{30pt} (x,(\mu,\sigma)) \mapsto \mu+x\sigma \\

上記の仮定をすると

\mu,\sigmaを固定すると写像 f(,((\mu,\sigma))によって写像先\mathbb{R}では平均\mu,分散\sigma^2分布が入る。

結果

\\
\\
\\
\psi_1: X \to C(K) \\
\hspace{50pt}  x \mapsto \{(\mu,\sigma) \mapsto x\sigma \}  \\ 
\\
\\
\\
\psi_2: X^2 \to C(K) \\
\hspace{70pt} (x_1,x_2) \mapsto  \{(\mu,\sigma) \mapsto \frac{1}{\sqrt{2}} (x_1+x_2) \sigma \} 
\\
\\
\\
\psi_n: X^n \to C(K) \\
\hspace{80pt} (x_1,x_2,...x_n) \mapsto  \{(\mu,\sigma) \mapsto \frac{1}{\sqrt{n}} (x_1+x_2+...+x_n) \sigma \}

すべてのnに対して

X_n:X^n \to \mathbb{R} \\
(x_1,x_2,...,x_n) \mapsto \frac{1}{\sqrt{n}} (x_1+x_2+...+x_n)

すべてのnで写像先では平均0,分散1の分布になるので

\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = ... = \mu \\

となってしまい

\{(\mu,\sigma) \mapsto \alpha\sigma | \alpha \in \mathbb{R} \} \subset C(k)

のみに0でない測度が入っていて

A = \{(\mu,\sigma) \mapsto \alpha\sigma | \alpha \in (a,b) \} \subset C(k)

とすると

\mu(A) = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)dx

あまり面白い例ではなかった。