現時点で最新版の Android SDK (r24) には、Windows (x86) 環境で SDK Manager が正常起動しないというバグがあります。
暫定対処ですが、android-sdk-windows\tools\lib\find_java.bat の27行目を以下のように修正すると起動できるようになります。(arch_ext=32 の後のスペースを抜く)
誤: find /i "x86" > NUL && set arch_ext=32 || set arch_ext=64
正: find /i "x86" > NUL && set arch_ext=32|| set arch_ext=64