Windows 版 Ruby 2.0.x で gem install sqlite3 で sqlite3 モジュールをインストールしてテストしていたら、LoadError sqlite3 となって動作しなくなりました。
ググってみると、けっこうこの症状が出ているようですが、対処方法が玉石混合でこれと言った決定版がないように見えます。
自分の場合は、 いったん sqlite3 モジュールをアンインストールして sqlite3-ruby を入れてみました。・・・が同じ症状が継続です。
sqlite3-ruby もアンインストールして再び sqlite3 モジュールを入れてみたらなぜか復活。
これって何なんでしょうね。
※ 最新版 Ruby 2.2.x (2015/3現在) では、sqlite3 モジュールがぜんぜん動きませんでした。
まだ、未対応なんでしょうかね。