GitHubのwebhook機能を使うと、Pushされた時に自動でサーバーに通知を送ることができます。
その通知を処理して、自動でgit pullを実行し、サーバー上のレポジトリを最新に保つスクリプトを書きました。
webhookの設定は、GitHubのレポジトリの「Settings」→「Webhooks & services」→「Add webhook」から行ってください。
以下のスクリプトをサーバー上に設置し、「Payload URL」にスクリプトのアドレスを指定してください。

PHPの場合

<?php

// 設定
$LOG_FILE = dirname(__FILE__).'/hook.log';
$SECRET_KEY = 'your key';

$header = getallheaders();
$hmac = hash_hmac('sha1', $HTTP_RAW_POST_DATA, $SECRET_KEY);
if ( isset($header['X-Hub-Signature']) && $header['X-Hub-Signature'] === 'sha1='.$hmac ) {
    $payload = json_decode($HTTP_RAW_POST_DATA, true);  // 受け取ったJSONデータ
    // ここに実行したいコードを書く
    exec('git pull 2>&1');
    file_put_contents($LOG_FILE, date("[Y-m-d H:i:s]")." ".$_SERVER['REMOTE_ADDR']." git pulled: ".$payload['after']." ".$payload['commits'][0]['message']."\n", FILE_APPEND|LOCK_EX);
} else {
    // 認証失敗
    file_put_contents($LOG_FILE, date("[Y-m-d H:i:s]")." invalid access: ".$_SERVER['REMOTE_ADDR']."\n", FILE_APPEND|LOCK_EX);
}

hash_hmac()を使ってハッシュ値をつくり、X-Hub-Signatureヘッダーと一致するか調べます。
一致しなければ、正しくGithubから送られてきたものでないので何もせず終了します。
$SECRET_KEYには、githubに設定したキーをそのまま設定してください。

Rubyの場合

#!/usr/bin/env ruby
# coding: utf-8

# 設定
LOG_FILE = 'hook.log'
SECRET_KEY = 'your key'

require 'openssl'
require 'json'
require 'logger'

log = Logger.new(LOG_FILE)
body = STDIN.read   # 生のPOSTデータの受け取り
HMAC_DIGEST = OpenSSL::Digest.new('sha1')
hmac_signature = 'sha1='+OpenSSL::HMAC.hexdigest(HMAC_DIGEST, SECRET_KEY, body)
if ENV["HTTP_X_HUB_SIGNATURE"] == hmac_signature
    payload = JSON.parse( body )
    # ここに実行したいコードを書く
    system('git pull')
    log.info "#{ENV['REMOTE_ADDR']}  git pulled: #{payload['after']} #{payload['commits'][0]['message']}"
else
    # 認証失敗
    log.warn "invalid access from #{ENV['REMOTE_ADDR']}"
end

puts "Content-Type: text/html\n\n"

やっていることは、PHPの場合と同じです。

参考

https://developer.github.com/v3/repos/hooks/#create-a-hook
http://blog.manaten.net/entry/573 (情報が古いです)

GitHubのwebhookを受け取って、自動でgit pullするスクリプト

PHPの場合

Rubyの場合

参考