ゲーム制作のネタにもなるかもしれない。よくできてるもんだ。
今回の記事
自然数は 前に書いた。
「Wikipediaのペアノの公理を読んでみる」 http://qiita.com/muzudho1/items/3a743168dc12b00a2d96
次は なんか「最も簡単なものはマグマであり」と書いてるし、マグマを読んでみよう。
Wikipedia 「抽象代数学」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6
以下、Wikipedia に書いてあることを単に わたしが読んで 言い方を変えて 書いただけ。数学的な用語を知らないので 説明の仕方が違って良いのではないか。
間違っているところがあれば 誰かが教えてくれるだろう……。
その前に。
数がいっぱいある中で……。
二項演算
２つのバケツを選んで、
何か計算しようとすることを 二項演算（にこうえんざん） と呼ぶと誰かが決めてるようだ。真似しよう。
マグマは 二項演算で出てくる。
二項演算以外に 何があるかというと、
単項演算
バケツを１つだけ選んで、
このバケツを どうにかしようとする 単項演算 (たんこうえんざん) と、
あとは
多項演算
３つ以上のバケツを選んで、
これらのバケツで 何か計算しようとすることを 三項演算 (さんこうえんざん） と呼ぶようだ。
３つ以上は キリがないので 多項演算 (たこうえんざん) と呼べばいいのではないか。
で、単項演算とか 多項演算は 忘れるとして、二項演算に戻る。
「なんで 二項演算だけ 特別なんだ……。七項演算のマグマは無いのか……」
とりあえず 二項演算だけ見ていく。
もう こっから むずかしい
絵に描くのも大変なので描かないが、数字は０～６の他にも７以上とかがあるとする。
そして バケツに名前を付ける。
エックス・バケツ と、 ワイ・バケツ があることにする。別に うさぎさんバケツ、くまさんバケツでも良かった。いや、むしろ うさぎさんバケツ、くまさんバケツの方が良かった。
あと、普段の算数・数学を忘れてもらうために 数字を いったん 宇宙語に置き換える。
そしてこの忙しい時に 何か黒い物体が降りてくる。
この黒い物体と 意志の疎通は取れるのか……。
そのとき不思議なことが起こった。 黒い物体は光り輝き １枚の風呂敷へと変わった。
で、なんか
エックス・バケツ チームが横に、 ワイ・バケツ チームが縦に並んだ。
なるほど、この表があれば どんな二項演算でも答えは 風呂敷に書き込めるかもしれない、例えば……。
わたしのキーボードでは 打ち込めないが、x と y を使って ● という計算をした答えは 緑色に光っているところに 答えがあるだろう。描くのが大変なので描かないが……。
「七項演算だったら 表を描くのが 大変だったところだ……」
で、要点としては
何が マグマ なのかというと……。
宇宙語と 宇宙語を 計算した答えは また同じ 宇宙語 になることらしい。
それの何が嬉しいのかというと……。
計算した答えを使って また 計算 できる ことだ。 嬉しくない……。
で、もっと単純に考えれば
まだ、普段の 算数・数学 の癖 が残っているかもしれない。もっと単純に考えよう。
宇宙語と 宇宙語 を計算した結果を さっきのは無しにして もう一度 考え直して 表に埋めてみる。
文字列連結じゃないか……。
確かに C#言語なんかでも
string c = "a" + "b";
とでも書けば c の内容は "c" ではなくて "ab" だ。
計算順序を かっちり指定することが必要
で、この マグマ とかいうやつ。
"a" ● "b" ● "c"
とか書かれていても、
- "a" ● "b" を先に計算して、そのあと "ab" ● "c" を計算するのか、
- "b" ● "c" を先に計算して、そのあと "a" ● "bc" を計算するのか、
決まりがないので計算できない。普段の数学の真似をして、丸かっこを付けるものとする。
( "a" ● "b" ) ● "c"
"a" ● ( "b" ● "c" )
の、どっちかになる。
「あれっ？ ( "a" ● "c" ) ● "b" とか、 "a" ● ( "c" ● "b" ) とか、
( "c" ● "b" ) ● "a" とかは？」
ここでは 計算順序の話しなので、 "a" ● "b" ● "c" は固定で、丸かっこを入れる場所だけが違う。
例えば
"a" ● "b" ● "c" ● "d"
だと、
( "a" ● ( "b" ● ( "c" ● "d" ) ) ) // 3 2 1
( "a" ● ( ( "b" ● "c") ● "d" ) ) // 3 1 2
( ( "a" ● ( "b" ● "c") ) ● "d" ) // 2 1 3
( ( ( "a" ● "b" ) ● "c" ) ● "d" ) // 1 2 3
( ( "a" ● "b" ) ● ( "c" ● "d" ) ) // 1 3 1 ※1はどっちが先でも同じ
ぐらいの順がありそう。
で、これを絵に描くと
二分木だよね、ということが言いたいんじゃないか。誰かが書いた Wikipedia。
(追記)丸かっこ
「計算結果がどれも同じじゃないか？」って？ 違う違う。
もう少し Wikipedia に書いてある通りに意訳すると、計算結果には 息継ぎの切れ目のようなものがある。
「真っ赤な食堂のテーブルの上の花瓶に挿している花」という文があったとして 赤いのは食堂なのかテーブルなのか花瓶なのか花なのか、というように日本語には 係り結び のようなものがある。マグマには 係り結びのルールが無いので 丸かっこのようなものが必要。
逆に言うと
日本人は 日ごろから abcd のような日本語の文を耳から聞いて
丸かっこも使わずに 文脈や違和感から abcdのどれとどれがくっつくのか ５パターンぐらい見分けられたり 間違ったりするということだ。
マグマには これができない。
休憩
マグマの全部を 再説明し直せていないんだが 夜中になったので 再説明を終わる。
マグマの要点を復習すると、宇宙語と 宇宙語で計算したら また宇宙語、それ以外はルールが決まってない、あと説明する時間が足りてない何か。
（以下、追記）で、マグマとか１個 知ってても意味ない
なんか もう１個 マグマを見つけたとする。
なんか マグマにも 西洋っぽいのもあれば アジアンなものもあるのだろう。もしかすると エジプトかもしれない。
重要なのは
で、ここで重要なのは……
どうも この別々のマグマは 別の計算をしようとしている ようだ。わたしには分かる。キーボードで宇宙語を打ち込めないんだが ここで仮に 左の宇宙語を うさぎ語、 右の宇宙語を かめ語 と名付けるとし、そして 何かやっているかわからないがそこでの何かの計算を うさぎ算 かめ算 と呼ぶとしよう。
うさぎ算、かめ算は 同じだったら話が楽すぎる
うさぎ算と かめ算は ぜんぜん同じに見えない計算とする。まあ何か 違う理屈で 計算が行われるのだろう。
じゃあ ここに もうひとつ いぬ算 というものを用意するとする。
いぬ算を中継すると どうよ
左のうさぎと、右のかめ では ぜんぜん つかみどころがなかったものが……。
いぬ算 を中継させることで、計算結果に一致がみられるような、そんな 直訳の翻訳装置みたいな計算方法があるかもしれない。
そんな いぬ算 みたいなものを発見しようものなら 計算の応用範囲は 他分野に広がっていくだろう。
では、この いぬ算 では、何が起こっているのか。
一応 いぬ算の順序の例
なんか 見にくいので……。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
こんな感じで計算すると、いつも計算結果がイコールになるとする。
「なぜ、 犬（１兎２）＝犬（１）亀 犬（２） だけ特別なのか……？」
わたしが決めた学問じゃないんで知らないが、
犬（１）亀 犬（２）＝犬（１兎２） も 言ってることは同じ なんで、
多分、兎 と 亀 の表記を省略したときに ２つを見比べると……。
犬（１ ２） ＝ 犬（１） 犬（２）
犬（１） 犬（２）＝ 犬（１ ２）
左にある方が 犬（１ ２） の方が見た目もすっきりしているし、そっちの書き方を優先したんじゃないだろうか、知らんけど。
Wikipediaでの例を読んでみよう。
次のように解説がある。
Wikipedia 「Homomorphism」
https://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphism
e^(1+2) = e^1 * e^2 // 兎+ 亀* 犬e^
ln(1*2) = ln(1) + ln(2) // 兎* 亀+ 犬ln( )
へぇ、確かにイコールだ。うさぎ、かめ、いぬ がいる。
また、もっと視覚的な説明がされている。
Wikipediaでは数学は英語ページの方が充実しているのか……。
足し算と、掛け算を並べても 何も嬉しくないが……。
こんな風に 掛け算の方を １から始まる２の倍数にすると……。
計算方法も 計算結果も異なるが、おんなじ絵柄の絨毯になっている。 絵に描いた方がいいだろうか。
ここで、下の図で説明するが、足し算表の数字を 足し合わせたあと ２のＸ乗 （いぬ算）にすると、 右の掛け算表の ２のＸ乗した列と行だけ掛け合わせると、同じ計算をしていることになる。
このように いぬ算 のようなものを１つ仲介することで おんなじ計算ができるようになるとき、準同型、英語で言うと Homomorphism (ホモモーフィズム)と言うようだ。
誰が見つけたんだ こんなの……。
２つのマグマがあれば、準同型 を作れるような いぬ算 がないか探してみるのもいいのかもしれない。
まだマグマの全部 解説してないんで、時間があるときに また この記事に続けて書く。
で、うさぎ語
そこらへんを ほっつき歩いている うさぎ星人に、「全部の文字を集めてこい」といって寄こさせたのが下の図だ。
全部じゃないかもしれないが、とりあえず 集まった。水増しも無いようだ。
で、この文字セットを使って
電卓を作ろう。
＼ カタ、 カタ、 トンッ ／
文字の組み合わせによっては ブザーが鳴って 計算できないこともあるかもしれない。なんて 不自由 なんだ。打ち歩詰めルールみたいだ。
もしかすると この文字は うさぎ語 の中では 数字ではないのかもしれない。
＼ カタ、 カタ、 トンッ ／
念入りに探す。もしかすると 片方が数字で、片方が文字かもしれない。ブザーが鳴っているのも 組み合わせのせいかもしれない。いろんな組み合わせも試す。
＼ カタ、 カタ、 トンッ ／
計算に成功したときは なんのチャイムも ファンファーレもならない。
こんな くそ地味な作業 が好きなやつも世の中には存在する。
うさぎ語 独自調べ
わたしが独自に調べたところによると、
うさぎ語の上図の９文字は ２文字間では どのように組み合わせても ＯＫ のようだ。３文字の組み合わせでは知らん。
わたしは うさぎ語の専門家ではないので 詳しいわけではないが、うさぎ語で書かれていない再説明ということで 読む人もいるのではないか。Qiita に書いておけば間違っていれば 誰か教えてくれるだろう。
よーし、全域性 は確保された。
ところで……。
これは ダメ だったが……。
これは ＯＫ なようだ。
うさぎ算とは 何なのか。分けわからん。
そういう 局所性 もあるうさぎ字 も含めると……。
さらに４文字増えるようが、この青い字を使うと 計算機が ブー と鳴ってしまう。マグマじゃない。
それに比べて 運よく 赤い字は どう組み合わせても また赤い字が出てくる。うまく完結してくれた。計算機の中だけでうまく 閉じている とでも言おうか。マグマだ。
青い字も もしかすると単項演算や多項演算だったら 閉じている字 なのかもしれないが……。
うさぎ星人には説明しなかったが 今回 欲しいのは
この うさぎ算 で 両脇に置ける 二項演算用の数字だけだ。
とりあえず、上図の 赤いうさぎ字を 数字 と呼ぶことにする。
今 やりたいのは、かめ語の電卓の 亀ボタンを……、
この兎ボタンで……、
ハッキングしようというわけだ。
まとめておくと……。
７０ミリリットルのポリ袋 Ｍ があるとする。
で、この中に ３５ミリリットルのポリ袋 Ｎ が入っていたとする。
このポリ袋は、どんなに中を開けても ポリ袋しか入っていない。
ポリ袋論
で、埼玉に住んでいると 埼玉県民 と呼ばれるわけだが、埼玉県民の中には 新座市民 というのが入っている。
この袋の中身を もっと開けていくと 区民 や 世帯 が出てきて、最後には 世帯員 が出てくるかと思う。
ここで要点なのは どんなに袋を 開けても 山田〇郎とか 鈴木イ〇ロー のような具体的な誰かは出てこないことで、例えば誰か と問う と、反町〇史 とか 藤井〇也 とかが出てくる。
「開ける」と「問う」は漢字は似ているが 別の操作だということを踏まえて、それと同じ理屈で……、
この何なのかわからない謎のポリ袋 Ｍ。 このポリ袋は例えば何か？ と問うてみよう。
えっ、問う の？ 別にいいけど……。いっぱいあるんで少しだけ 答える と……。
なんだ、マグマな数だったのか……。これは書き切れない。
じゃあ、Ｎ のポリ袋って 例えば何？
えっ、問う の？ 別にいいけど……。色んなパターンがあるけど例えば こんなパターンはどうだろうか？
ゾロ目か～。
ゾロ目以外のパターンもあるかもしれないが。
なんにしろ こういうのを……。
ＮはＭの 部分集合 と呼ぶのらしい。
どうも ＭはＮを兼ねる ことを数学的に言うとそうなるらしい。
で Ｍ が マグマ なら、 Ｎ が 部分マグマ とか言うのも、なんか そのまんま だ。
続く。
（2017-03-16 追記: 書く時間がないじゃないか。時間くれ）