はじめに
「値をランダムに分配するにはどうすればいいのか」が元ネタです。数学には疎いものの、**「あれ？正規分布ってまさにこの用途じゃね？」**と思いついたのでググりながらいろいろ試してみました。
正規分布って何？
Wikipedia先生に聞きましょう。
正直自分もあんまり分かってないんですが、素人なりに大雑把に言うと**「中心にいい感じに偏ってくれる確率分布」**だと認識しています。さらに 「左右対称に」 というべきでしょうか。
偏り方は与える $\mu$ および $\sigma$ によって変わってくるようです。
正規分布に従う乱数の生成方法
2通りの方法を挙げてみます。
PHPネイティブの関数を使う
標準関数の手広さがウリのPHPでも、これは残念ながらカバーしてくれないようです…
(Pythonとかなら標準であるんですかね？)
一様乱数を正規乱数に変換する
世の中には頭のいいことを思いつく人もいるんですね！
関数の実装
Wikipedia英語版のC++の例を参考にして書いてみました。意味が分からなかったところは端折ったりしてます。
function generate_norm(float $average = 0.0, float $variance = 1.0) {
static $z1, $z2, $mt_max, $ready = true;
if ($mt_max === null) {
$mt_max = mt_getrandmax();
}
$ready = !$ready;
if ($ready) {
return $z2 * $variance + $average;
}
$u1 = mt_rand(1, $mt_max - 1) / $mt_max;
$u2 = mt_rand(1, $mt_max - 1) / $mt_max;
$v1 = sqrt(-2 * log($u1));
$v2 = 2 * M_PI * $u2;
$z1 = $v1 * cos($v2);
$z2 = $v1 * sin($v2);
return $z1 * $variance + $average;
}
関数の利用
1000を10人に分配してみましょう。分散は固定値にし、平均だけ1回ごとに書き換えてみます。
- 最低でも1は全員に割り振れるときのみ計算を実行する
- 無限ループもしくは長いループを防ぐために $\frac{1}{2\sqrt{2\pi\sigma^2}}$が1以上のときのみ計算を実行する
(中央値が1以上のときのみ計算を実行する) - 分散が大きい時には前に大きな数が偏るので
shuffleを最後に実行する
(必要に応じてmt_shuffleに替えてください)
function distribute(int $total, int $count, float $variance = 1.0) {
switch (true) {
case $count < 1:
case $total < $count:
case $variance < 0:
case 1 / (2 * sqrt(2 * M_PI * $variance)) > 1:
return false;
}
$result = [];
for ($i = 0; $i < $count - 1; ++$i) {
do {
$result[$i] = round(generate_norm($total / ($count - $i), $variance));
} while ($result[$i] < 1 || $total - $result[$i] < $count - $i);
$total -= $result[$i];
}
$result[$count - 1] = $total;
shuffle($result);
return $result;
}
逐次 print_r(distribute(1000, 10, $variance)); で実行してみます。
Array
(
[0] => 100
[1] => 100
[2] => 99
[3] => 100
[4] => 100
[5] => 101
[6] => 100
[7] => 100
[8] => 100
[9] => 100
)
Array
(
[0] => 101
[1] => 100
[2] => 100
[3] => 102
[4] => 101
[5] => 100
[6] => 98
[7] => 98
[8] => 99
[9] => 101
)
Array
(
[0] => 93
[1] => 98
[2] => 100
[3] => 100
[4] => 103
[5] => 90
[6] => 114
[7] => 97
[8] => 106
[9] => 99
)
Array
(
[0] => 105
[1] => 68
[2] => 109
[3] => 136
[4] => 133
[5] => 90
[6] => 96
[7] => 87
[8] => 123
[9] => 53
)
Array
(
[0] => 60
[1] => 2
[2] => 325
[3] => 6
[4] => 4
[5] => 1
[6] => 434
[7] => 157
[8] => 10
[9] => 1
)
これはいい感じじゃないですかね！？あとはwhileを最小値および最大値も加えたループ条件にすれば、実用的に使えるものになるんじゃないでしょうか。
備考
mt_randはrandに比べるとマシになっているものの、暗号学的に安全なレベルの乱数では無いようです。この用途で使うには、従来は以下のopenssl_randのように自分で関数を作る必要がありました。
ところが、PHP7以降はrandom_intという関数が利用できます。PHP7の普及に伴い、わざわざ精度の悪いmt_randを使う必要性は薄れていくかもしれませんね。