復習 モナド

はじめに

monad って一体なんなのって、象の絵がかいてある本とか、色々な所で色々なやり方で論じられていると思うので、適宜調べればいいと思うんですけど、やっぱり自分用のまとめも欲しい。とりあえずここに『復習 モナド』としてまとめておきます。

レジュメ

monad.hs

-- 射の合成
(.)   ::                 (  b ->   c) -> (  a ->   b) -> (  a ->   c)
(<=<) :: Monad    m   => (  b -> m c) -> (  a -> m b) -> (  a -> m c)
(=<=) :: Comonad  w   => (w b ->   c) -> (w a ->   b) -> (w a ->   c)
(<<<) :: Category cat => cat b c      -> cat a b      -> cat a c

-- 関手
($)   ::                    (  a ->   b) -> (  a ->   b)
map   ::                    (  a ->   b) -> ([a] -> [b])
(<$>) :: Functor     f =>   (  a ->   b) -> (f a -> f b)

-- Applicative
repeat ::                  a -> [a]
pure   :: Applicative f => a -> f a
(<*>)  :: Applicative f => f (a -> b) -> (f a -> f b)

-- Monad
fmap      :: Functor f => (a -> b) -> (f a -> f b)
return    :: Monad   m => a -> m a
join      :: Monad   m => m (m a) -> m a
(=<<)     :: Monad   m => (a -> m b) -> (m a -> m b)

-- Comonad
fmap      :: Functor f => (a -> b) -> (f a -> f b)
head      ::              [a] -> a
extract   :: Comonad w => w a -> a
duplicate :: Comonad w => w a -> w (w a)
(<<=)     :: Comonad w => (w a ->   b) -> (w a -> w b)

合成と圏論

小さいプログラムを『合成 compose』して、大きなプログラムを作りたい。たとえば f :: Float -> Int という「関数」と g :: Int -> String という「関数」を組み合わせて、 (g . f) :: Float -> String という「関数」を作れる。

a -> b の a の方を『ドメイン domain』、 b の方を『余ドメイン codomain』と呼ぼう。関数 g のドメインと関数 f の余ドメインが両方とも Int だから、合成できることが分かる。

「関数」だけじゃなくて、「無限リストの処理」とか「副作用のある計算」みたいなプログラムでも同じことができる。こういった、ドメインと余ドメインを持っていて合成できるものを『射 morphism』、その全体を『圏 category』と呼ぶ。圏論は圏や射についての理論。

Haskellの (.) 演算子は関数の合成。同様に (<=<) 演算子はKleisli圏（後で出てきます）の射 (a -> m b) の合成。Haskellにはそのまま Category という名前の型クラスが定義されていて、 (<<<) 演算子はどの圏の射の合成にも使える、オールマイティーな演算子。逆向きの (>=>) や (>>>) という演算子もある。

関手とFunctor型クラス

2013年2月2日 内容が間違っているので修正

HaskellのFunctor型クラスの定義する fmap 関数は、リストのに対する map 関数を一般化したものだと思える。「関数 (a -> b)」を「コンテナ型の関数 (f a -> f b)」に変換してくれる関数を定義している。

関数の圏の対象からコンテナ型の関数の圏の対象への関数 a -> f a は『対象関数 object function』、Qiita内で圏論に言及するエントリのまとめ (2)関数からコンテナ型の関数への写像 (a -> b) → (f a -> f b) は『射関数 mapping function』にあたる。関手はこの2つの関数から成り立っている。（Functor型クラスでは射関数 fmap だけが定義されている）

『関手 functor』はには次の性質が成り立つ。

functor.hs

-- 合成の保存
functor (g <<< f) === functor g <<< functor f
-- 恒等射の保存
functor id === id

恒等射は他の射と合成しても何も変わらない射。

id.hs

id <<< f === f
g <<< id === g

よく分からないイメージ図。

  a       →【g】→      b

           ⇩ map

 [a]   →【map g】→    [b]


  a       →【g】→      b

           ⇩ fmap

 f a   →【fmap g】→   f b

(<$>) 演算子はfmapの別名で、(fmap f) と (f <$>) は同じ。

どうやら時間切れのようだ……

続きはまた次回。