LoginSignup
0

More than 5 years have passed since last update.

ヘロンの公式の導出

Posted at

三角形の3辺の長さを$a,b,c$とするとき,三角形の面積$S$は次のようになります.

$$
S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
$$

この公式をヘロンの公式といいます.

ヘロンの公式の導出

$a$と$b$の間の角度を$\theta$とすると,余弦定理より$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$となります.面積$S$は$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta$なので,$S^2$は次のように求まります.

\begin{eqnarray}
S^2&=&\frac{1}{4}a^2b^2\left(1-\cos^2\theta\right)\\
&=&\frac{1}{4}a^2b^2\left(1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\right) \\
&=&\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16}\\
&=&\frac{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}{16} \\
&=&\frac{1}{16}\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right) \\
&=&\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
\end{eqnarray}

上の変形で因数分解をする際には$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$という公式を用いました.

sを使った表示

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$とおくとヘロンの公式は次のように表せます.

$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

基本対称式を使った表示

$s_1=a+b+c$,$s_2=ab+bc+ca$,$s_3=abc$とおくと.ヘロンの公式は次のように表せます.

$$
S=\frac{1}{4}\sqrt{(-s_1^3+4s_2s_1-8s_3)s_1}
$$

この形を見ても,三角形の面積だとは,私には思えないです.

辺の長さの2乗を使った表示

$A=a^2$,$B=b^2$,$C=c^2$とおくと,ヘロンの公式は次のように表せます.

\begin{eqnarray}
S&=&\frac{1}{4}\sqrt{2(AB+BC+CA)-(A^2+B^2+C^2)} \\
&=&\frac{1}{4}\sqrt{A(B+C-A)+B(C+A-B)+C(A+B-C)} \\
\end{eqnarray}

導出は,次のようにします.
ヘロンの公式の導出の途中にあった$S^2=\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16}$から始めます.

\begin{eqnarray}
16S^2&=&4AB-(A+B-C)^2 \\
&=&4AB-A^2-B^2-C^2-2AB+2AC+2BC \\
&=&-(A^2+B^2+C^2)+2(AB+BC+CA)
\end{eqnarray}

以上です.

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0