exports と module.exports の違い

なんかややこしい解説が多いが、そんなに難しい話ではない。
1. exports = module.exports = {} が予め実行されていて、
2. 最終的に評価されるのは module.exports
ということ。

心配だったら常に module.exports を使えば OK だし、(正しく記述されているコードを)読む時は全部脳内で module.exports と読み替えてしまって良い。

じゃあどこで差が出るのか、なんでややこしい解説がされてるのか。

exports = なんたら という式は、exportsの中身をごっそり入れ替えてしまうので、exports == module.exportsの関係が壊れる。
exports.hoge = 1 はこの関係を崩さない。

歴史的経緯によれば（ぶっちゃけ想像ですが）もともとは exports しか無かった。つまり、

var hoge = require('./hoge');
hoge.foo();
hoge.bar();

という形の使い方しか想定してなかった。
ところが、誰かが new hoge したい、と言い出した。(恐らく他の誰かが new hoge.Hogeとすればいいじゃん、と反論しただろうが、美しくない、と却下された)
exports だけではこれは実現出来ない。そこで、あとから module.exports という記法が追加された。

多分そんなことだろうと思います。想像ですが。